Съдържание

ВсОШ 2025, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 3. 10-E1 · Цепная линия

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике — заключительный этап, экспериментальный тур

Обложка

Министерство просвещения Российской Федерации
Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап
Экспериментальный тур

Саранск, 2025 г.

Авторы задач

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией
Всероссийской олимпиады школьников по физике
E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач

9 класс

9-E1. Сергей Кармазин
9-E2. Денис Рубцов

10 класс

10-E1. Анатолий Власов, Алексей Заяц
10-E2. Денис Рубцов

11 класс

11-E1. Юрий Черников, Илья Головнин

Условие

Оборудование: металлическая цепочка массой $m=(10{,}7\pm0{,}2)$ г; мерная лента; лист ДВП; штатив с муфтой и лапкой, в которой зажато крепление для цепочки; два листа миллиметровой бумаги для построения графиков.

Задание. На горизонтальной белой поверхности листа ДВП (далее будем называть эту поверхность «рабочей») расположите выданную Вам цепочку так, как показано на рис. 1. Здесь $H$ — высота точки крепления цепочки над рабочей поверхностью, $s$ — длина горизонтальной части цепочки в положении, когда она находится в равновесии при максимально удалённом от штатива свободном конце. Обе части цепочки — и горизонтальная, и висящая в воздухе — должны находиться в одной вертикальной плоскости, проходящей через точку крепления цепочки к лапке штатива. Убедитесь, что цепочка не перекручена и на ней нет узлов или заломов.

Цепочку можно считать однородной. Ускорение свободного падения равно $g=(9{,}80\pm0{,}05)$ м/с².

Отсоединять цепочку от лапки штатива и перемещать штатив запрещено!

Полная исходная установка цепочки: лапка, крепление, цепочка, штатив, лист ДВП, высота H и длина s.

1. Измерьте длину $L$ выданной цепочки. Оцените погрешность полученного значения.

2. Экспериментально исследуйте зависимость длины $s$ горизонтальной части цепочки от высоты $H$ точки её крепления над рабочей поверхностью. Снимите не менее 15 точек.

3. Выведите формулу теоретической зависимости, связывающей $H$ , $s$ и $\mu$ — коэффициент трения звеньев цепочки о рабочую поверхность.

4. Используя экспериментальные данные и результат пункта 3, постройте график зависимости, связывающей $s$ и $H$ . Выберите величины, откладываемые по осям, таким образом, чтобы полученный график был прямой линией.

5. С помощью графика, построенного в пункте 4, определите коэффициент трения $\mu$ между звеньями цепочки и рабочей поверхностью. Оцените погрешность полученного значения.

6. Используя экспериментальные значения, полученные в пункте 2, и применяя экстраполяцию, постройте график зависимости $(L-s)$ от $H$ во всём диапазоне $H\in[0;L]$ .

7. С помощью полученного в пункте 6 графика вычислите работу $A$ , которую совершает сила, действующая на цепочку со стороны крепления, при медленном подъёме точки её крепления от высоты $H_1=30{,}0$ см до $H_2=L$ . Оцените погрешность полученного значения. В данном пункте считайте, что в процессе перемещения точки крепления цепочки движется строго по вертикали.

Решение

Задача №10-E1. Цепная линия

Длину цепочки $L$ измерим с помощью мерной ленты. Так как цепочка закреплена, мы можем, например, вынуть лапку из крепления или развернуть лапку так, чтобы цепочка висела вертикально. Запишем полученное значение:

L=(99{,}8\pm0{,}2)\text{ см}.

Установим лапку штатива на некоторой небольшой высоте и расположим цепочку так, как указано в условии. Медленно и аккуратно будем перемещать вверх точку крепления конца цепочки, каждый раз измеряя с помощью мерной ленты высоту $H$ и длину $s$ . Полученные значения занесём в таблицу:

$s$ , см	86,7	85,3	83,4	80,9	79,1	76,4	74,3	73,3	70,0	67,8
$H$ , см	5,9	6,9	8,5	10,6	12,5	14,4	16,6	18,3	21,2	23,5

$s$ , см	65,7	62,4	60,0	57,7	54,8	52,6	49,1	46,9	43,4
$H$ , см	26,2	29,4	32,2	34,7	37,4	40,1	44,0	46,3	50,8

Пусть $l=(L-s)$ – длина висящей части нашей цепочки, $m_1=ml/L$ – её масса, а $m_2=ms/L$ – масса горизонтального участка. Сделаем два рисунка и изобразим на них силы, действующие, соответственно, на висящую (рис. 2а) и горизонтальную (рис. 2б) части цепочки.

Обе исходные схемы сил на висящей и горизонтальной цепочке: T1,T2,N,Fтр,m1g,m2g,α,H и подписи а/б.

Из условия равновесия обеих частей цепочки получим:

N=m_2g=mgs/L,\quad T_2=F_{\text{тр}}=\mu N=\mu mgs/L,

T_1\cos\alpha=T_2=\mu mgs/L,\quad T_1\sin\alpha=m_1g=mgl/L,

T_1=\sqrt{T_2^2+(m_1g)^2}=\frac{mg}{L}\cdot\sqrt{l^2+\mu^2s^2}=\frac{mg}{L}\cdot\sqrt{(L-s)^2+\mu^2s^2}.

С другой стороны, с помощью метода виртуальных перемещений (то есть мысленно смещая висящую часть цепочки вдоль неё самой на малое расстояние $\Delta x$ ) найдём, что $T_1\Delta x-T_2\Delta x=(m\Delta x/L)gH$ , откуда

T_1-T_2=mgH/L.

Подставляя теперь выражения для $T_1$ и $T_2$ в записанное выше соотношение, получим

H=\sqrt{(L-s)^2+\mu^2s^2}-\mu s.

Преобразуем полученное в пункте 3 выражение для $H$ :

l^2+\mu^2s^2=(H+\mu s)^2\quad\Longrightarrow\quad\left(\frac{l}{H}\right)^2-1=2\mu\cdot\frac{s}{H}.

Отсюда следует, что, если отложить по осям величины $s/H$ и $(l/H)^2-1$ , график зависимости должен быть прямой линией, проходящей через начало координат и имеющей коэффициент наклона, равный $2\mu$ .

Вычислим для каждой измеренной точки значения $l=L-s$ , $s/H$ и $(l/H)^2-1$ . Дополним этими значениями полученную выше таблицу.

$s$ , см	86,7	85,3	83,4	80,9	79,1	76,4	74,3	73,3	70,0	67,8
$H$ , см	5,9	6,9	8,5	10,6	12,5	14,4	16,6	18,3	21,2	23,5
$l$ , см	13,1	14,5	16,4	18,9	20,7	23,4	25,5	26,5	29,8	32,0
$s/H$	14,69	12,36	9,81	7,63	6,33	5,31	4,48	4,01	3,30	2,89
$\frac{l^2-H^2}{H^2}$	3,93	3,42	2,72	2,18	1,74	1,64	1,36	1,10	0,98	0,85

$s$ , см	65,7	62,4	60,0	57,7	54,8	52,6	49,1	46,9	43,4
$H$ , см	26,2	29,4	32,2	34,7	37,4	40,1	44,0	46,3	50,8
$l$ , см	34,1	37,4	39,8	42,1	45,0	47,2	50,7	52,9	56,4
$s/H$	2,51	2,12	1,86	1,66	1,47	1,31	1,12	1,01	0,85
$\frac{l^2-H^2}{H^2}$	0,69	0,62	0,53	0,47	0,45	0,39	0,33	0,31	0,23

Нанесём полученные точки на миллиметровку и построим аппроксимирующую прямую (синяя прямая на рис. 3).

Полный исходный график (l/H)²−1 от s/H: все точки, синяя аппроксимация, красные границы, сетка и деления.

Определяя коэффициент наклона аппроксимирующей прямой $k=2\mu$ , найдём коэффициент трения $\mu$ :

k=0{,}28\quad\Longrightarrow\quad\mu=0{,}14.

Погрешность величины $\mu$ оценим с помощью «метода границ» (красные линии на рис. 3):

\Delta k\approx0{,}02\quad\Longrightarrow\quad\Delta\mu\approx0{,}01.

Возьмём из таблицы, приведённой выше, вычисленные для каждого $H$ значения $l=(L-s)$ и нанесём полученные точки на миллиметровку. Добавим к ним две точки, полученные теоретически: 1) при $H=0$ цепочка должна полностью лежать на рабочей поверхности, следовательно $l=0$ ; 2) при $H=L$ цепочка висит вертикально, и $l=L$ . Проводя сглаживающую кривую, получим искомый график (синяя линия на рис. 4).

Полный исходный график l(H): все измеренные/теоретические точки, синяя кривая, красные пунктиры, обе оси0–100см.

Работа, совершаемая силой $T_1$ (см. рис. 2а) при малом вертикальном перемещении $\Delta H$ точки крепления, равна

\Delta A=T_1\sin\alpha\,\Delta H=\frac{mg}{L}\cdot l\Delta H.

Следовательно, работа силы $T_1$ при вертикальном перемещении от $H_1$ до $H_2$ равна

A=\frac{mg}{L}\cdot S,

где $S$ – площадь области, ограниченной графиком $l(H)$ , осью абсцисс и прямыми $H=H_1$ и $H=H_2$ .

Участок графика функции $l(H)$ между $H_1=30$ см и $H_2=99{,}8$ см является практически прямолинейным, поэтому

S=\frac{l(H_1)+l(H_2)}2\cdot(H_2-H_1)=\frac{38\text{ см}+99{,}8\text{ см}}2\cdot69{,}8\text{ см}\approx4809\text{ см}^2.

Отсюда

A=\frac{mg}{L}\cdot S\approx50{,}5\text{ мДж}.

Относительная погрешность полученного значения $A$ равна

\varepsilon_A=\varepsilon_m+\varepsilon_g+\varepsilon_L+\varepsilon_S,

где $\varepsilon_m=0{,}2/10{,}7\approx1{,}87\%$ , $\varepsilon_L=0{,}2/99{,}8\approx0{,}20\%$ , $\varepsilon_g=0{,}05/9{,}8\approx0{,}51\%$ – относительные погрешности, соответственно, массы цепочки, её длины и ускорения свободного падения. Оценим погрешность определения площади $S$ :

\varepsilon_S=\frac{\Delta l(H_1)+\Delta L}{l(H_1)+L}+\frac{\Delta L}{L-H_1}=\frac{1\text{ см}+0{,}2\text{ см}}{137{,}8\text{ см}}+\frac{0{,}2\text{ см}}{69{,}8\text{ см}}\approx1{,}2\%.

Отсюда следует, что

\varepsilon_A\approx3{,}8\%\quad\Longrightarrow\quad\Delta A=A\varepsilon_A\approx2\text{ мДж}.

Примечание к исходному документу

Формулировки, числовые таблицы, формулы и рисунки официального оригинала воспроизведены буквально. В решении 9-E1 на стр.22 напечатан двойной знак ± и знаменатель k−1, на стр.24 — знаменатели Δm и Δy. В решении 9-E2 сохранены исходные подписи положений ключей/резисторов и порядок min/max. Условие 10-E1 запрещает отсоединять цепочку, а решение описывает извлечение или разворот лапки. В формуле погрешности 10-E2 сохранён U_BC. В 11-E1 заголовки таблиц фототока мА отличаются от единиц мкА на графиках; коэффициент γ в формулах(3) и(4) указан по-разному; подпись знаменателя таблицы спектра отличается от графика. Условие задаёт диапазон0–40°, а таблицы решения содержат0–45°. В заключительном объяснении оригинал дважды использует λ_2theor для1064нм и532нм. Эти несогласованности не исправлялись.

Официальный дополнительный материал

Печатный транспортир получен из открытых официальных материалов задачи «532 нм» заключительного этапа2025: материалы задачи, исходный PDF. Это дополнительный материал к установке; он не напечатан в58-страничном сборнике. Даты внутри самого PDF не указано.

Оригинал в Архива: Ru25-E.pdf · допълнителни данни: Ru25-E-532-protractor.pdf