ВсОШ 2025, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1. 9-E1 · Долгий ящик

Возможные решения

Задача №9-E1. Долгий ящик

Метод 1.1. Разная точка приложения силы реакции

Зафиксируем расстояние $y=(25{,}9\pm0{,}2)$ см и положим конец шпильки с гайками на клипсу, находящуюся на расстоянии $x$ от края (см. рисунок). В таком случае на шпильку с гайками действует сила тяжести, сила реакции опоры $N$ и сила, приложенная в шарнире. При этом показания $m$ весов равны силе реакции опоры $N$, деленной на $g$.

Горизонтальность шпильки можно контролировать измерением расстояния до поверхности стола в различных точках, при этом небольшие отклонения от идеального горизонтального положения не влияют на результаты.

Получим экспериментальные точки зависимости показаний весов $m$ от расстояния $x$. Примем погрешность измерения длин за 0,2 см в связи с точностью определения точки касания шпильки и клипсы. Погрешность измерения «массы» $\Delta m=0{,}03$ г.

Запишем правило моментов для рычага относительно оси вращения, проходящей через шарнир:

Учитывая $N=mg$, где $m$ - показания весов, линеаризуем получившееся выражение:

Графиком зависимости $x$ от $1/m$ является прямая линия с отрицательным коэффициентом наклона, причем пересечение этой прямой с осью $x$ происходит в точке $x=b+y$. Из графика получим $b+y=(43{,}4\pm0{,}4)$ см. Погрешность определения величины $b+y$ определим графически. Если по точкам приведённого графика провести прямые с наименьшим и наибольшим сдвигом по вертикали, то будет видно, что погрешность равна $\Delta(b+y)=0{,}4$ см.

Кресты ошибок на графике по обеим осям оказываются маленькими. С учетом зафиксированного $y=(25{,}9\pm0{,}2)$ см получим $b=(17{,}5\pm0{,}6)$ см.

Метод 1.2. Измерение момента дополнительной силы

Выкрутим шпильку практически до упора так, что $y=(26{,}0\pm0{,}2)$ см. Положим шпильку с гайками на опору. В качестве опоры возьмем гайку. Нажмём кнопку «Tare» на весах. Если на шпильку будет действовать дополнительная сила, поменяется сила реакции $N$, действующая со стороны опоры на шпильку, то весы покажут величину $m^*=\Delta N/g$, где $\Delta N$ — изменение силы реакции.

В качестве дополнительной силы выберем силу тяжести клипсы и $n$ гаек, расположенных рядом со стенкой короба. Их суммарная масса $m=m_{\text{к}}+n\cdot m_{\text{г}}$, где $m_{\text{к}}=(1{,}33\pm0{,}03)$ г и $m_{\text{г}}=[(3{,}14\pm0{,}03)\text{ г}]/5=(0{,}628\pm0{,}006)$ г. Расстояние от середины клипсы (ее центра масс) до края шпильки $l=(25{,}0\pm0{,}2)$ см.

Измерим показания весов $m^*$ при разных $n$.

Перед тем, как мы расположили клипсу с гайками на шпильке, для системы «шпилька + гайки» были выполнены оба условия равновесия. Но когда вес клипсы с гайками начинает действовать на шпильку, то относительно оси вращения он создает момент $mg(b+y-l)$, который компенсируется изменением момента силы реакции $\Delta N(b+y)$:

Тогда график $m^*$ от $m$ должен быть линейным и проходящим через ноль. Его коэффициент наклона равен $1-l/(b+y)$.

Проведя прямую из точки (0,0), получаем коэффициент наклона $k=(0{,}431\pm\pm0{,}011)$ и

Погрешность коэффициента наклона найдем, проведя прямые с максимальным и минимальным наклоном. Рассчитаем погрешность итогового результата:

Метод 2.1. Изменение силы, поддерживающей шпильку, при её вкручивании

Будем измерять величину силы реакции, действующую на шпильку, с помощью показания весов $m$ так же, как мы это делали в первом пункте. В качестве параметра выберем длину внешней части шпильки $y$ и будем её постепенно уменьшать. Клипсу расположим под краем шпильки с гайками ($x=0$).

Запишем уравнение моментов относительно оси вращения:

поэтому график зависимости $m$ от $1/(y+b)$ оказывается линейным с коэффициентом наклона, равным $-Ma$, и свободным членом, равным $M$. Для вычисления $1/(y+b)$ возьмем значение $b=(17{,}5\pm0{,}6)$ см. Тогда погрешность $\Delta[1/(y+b)]=(\Delta y+\Delta b)/(y+b)^2$.

Кресты ошибок на графике по вертикальной оси оказываются маленькими. С помощью графика определим, что масса шпильки с гайками $M=(49{,}1\pm0{,}4)$ г и $Ma=(9{,}4\pm0{,}5)$ г · м. Погрешности коэффициента наклона и свободного члена определим графически.

Метод 2.2. Изменение силы реакции, действующей на короб при выкручивании шпильки

Установим один конец короба на клипсу, а второй – на весы с опорой в виде гайки. Расстояние между точками опоры короба $l_0=(51{,}0\pm0{,}2)$ см.

Далее, выкручивая шпильку, мы изменяем момент силы тяжести системы «короб + шпилька + гайки» относительно клипсы. Измерим изменение показаний весов $m^*=(20{,}52\pm0{,}03)$ г при изменении длины свободной части шпильки на $y^*=(21{,}0\pm0{,}2)$ см.

Запишем правило моментов относительно клипсы:

где $\mathcal{M}_{\text{короб}}$ — момент сил, создаваемый силой тяжести короба, $l_0$ — расстояние от точки клипсы до стенки ящика.

Когда мы выкручиваем шпильку, меняются только $m$ и $y$:

Погрешность вычисляется через сумму относительных погрешностей:

В методе 2.1 с помощью графика получено, что $Ma=(9{,}4\pm0{,}5)$ г · м, поэтому $a=(19{,}2\pm1{,}0)$ см.

Если для определения массы использовался альтернативный метод (например, метод 2.2), то для определения $a$ все равно требуется провести исследование, аналогичное методу 2.1.

Рассмотрим систему «шпилька + гайки». Двадцать навинченных гаек можно представить как однородный стержень длиной $c=(5{,}9\pm0{,}2)$ см и массой $20m_{\text{г}}$. Выражение для центра масс системы имеет вид:

Оценка погрешности длины стержня $\Delta L$: