Съдържание

ВсОШ 2025, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 4. 8-E2 · Гайки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

Всероссийская олимпиада школьников по физике · Региональный этап · Экспериментальный тур

Внимание: Бележка към темата

Печатные значения, формулы и подписи сохранены: в 7-E1 площадь сектора в ключе содержит σ; в 7-E2 отличаются H и численные знаменатели; плотность картона и диаметры игл в авторских решениях отличаются от условий. Оси графиков мощности 10-E2 буквально подписаны ρ/ρ0. На странице 33 дважды напечатан заголовок 11-E2 «Лампочка — гори!», сначала со ссылкой на 10-E2; он не переименован. Для 11-E1 отдельно показано общее решение под его исходным заголовком 10-E1: условия обоих классов совпадают и указатель материалов 2025 года связывает их с одной задачей. Десять классных задач сохранены раздельно. Получены исходные печатные шаблоны Радиана и Гаек; отдельные видео и веб-критерии не объявлены прочитанными.

Обложка

Министерство просвещения Российской Федерации

Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

Всероссийская олимпиада школьников по физике

Региональный этап

Экспериментальный тур

Москва, 2025 г.

Авторы задач

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике

E-mail: physolymp@gmail.com

Авторы задач. Экспериментальный тур

7–8 класс	9–11 класс
7-E1. Александр Евсеев	9-E1. Антон Вергунов
7-E2. Олег Порошин	9-E2. Денис Рубцов
8-E1. Ольга Инишева	10-E1. Денис Перевощиков, Денис Рубцов
8-E2. Максим Еськин	10-E2. Алексей Заяц
	11-E1. Денис Перевощиков, Денис Рубцов
	11-E2. Алексей Заяц

Как готовиться к региональному этапу?

В МФТИ запущен классный проект «Физтех-регионам» (https://os.mipt.ru), где в публичном бесплатном доступе лежат лекции и семинары по всем классам и по всем темам. Там же выложены подборки задач по темам. Уровень материалов позволяет хорошо подготовиться к муниципальному и региональному этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Если вы школьник, просто пользуйтесь доступными материалами. Если вы преподаватель или сотрудник регионального органа образования, то МФТИ готов помочь организовать на базе вашей школы или центра по работе с талантливыми детьми кружок по физике. Занятия будут проходить по программе «Физтех-регионам», и МФТИ не берет никаких денег за эти материалы. Единственное, вам нужно будет обеспечить работу преподавателя. Подобным образом функционируют кружки уже в более чем 40 регионах России.

В этом году в рамках работы проекта сняты видео-решения экспериментального тура регионального этапа Всероссийской олимпиады школьников по физике. Используйте эти материалы для самоподготовки к будущим олимпиадам. Ссылки на решения даны у заголовков задач в разделе «Возможные решения».

Шаблоны для 7-E1. Радиан

Источник: материалы задачи. Файл с фигурами для печати. Файл печатается на обычной бумаге плотностью 80 г/м². Масштабирование не важно. Полные два исходных листа доступны в условии 7-E1.

Шаблон для 8-E2. Гайки

Источник: материалы задачи. Файл фигуры неправильной формы. Файл печатать без масштабирования на обычной бумаге плотностью 80 г/м². Полная исходная миллиметровая сетка доступна в условии 8-E2.

Условие

1. Вырежьте из листа бумаги распечатанную фигуру по контуру. Определите координаты центра масс вырезанной фигуры. Постарайтесь сделать это с наибольшей точностью. Оцените погрешность определения координат центра масс.

2. Найдите массу одной из гаек.

Оборудование: лист бумаги с поверхностной плотностью $\sigma_0=80$ г/м² с напечатанной на нём фигурой неправильной формы с нанесенной миллиметровой сеткой, два листа картона, ножницы, кусок нитки, кнопка канцелярская, две одинаковые гайки, линейка или сантиметровая лента, лист миллиметровой бумаги для построения графика.

Поверхностная плотность листа картона считается известной и равной $\sigma=250$ г/м².

Полный исходный контур неправильной фигуры на миллиметровой сетке: оси x и y в сантиметрах, все деления и числа.

Решение

Задача №8-E2. Гайки (видеоразбор)

В авторском решении использовался картон с поверхностной плотностью $\sigma=256$ г/м².

Возможный метод определения координат центра масс (тяжести) следующий: нужно подвесить фигуру за любую точку и зафиксировать положение отвеса. Повторив действия ещё для нескольких точек и найдя область, в которую попадают точки пересечения отвесных линий, получим положение центра масс (тяжести). Погрешность в определении координаты центра масс оценим как радиус этой области. Реализация этой идеи может быть различной:

с помощью кнопки сделаем в фигуре несколько отверстий, подвесим фигуру на кнопке, держа ее в руке. Линия отвеса обеспечивается гайкой, привязанной к нити. Верхний конец нити можно прикрепить к острию кнопки.
сделаем в листе бумаги несколько отверстий кнопкой у края и подвесим фигуру на нитке при помощи этих отверстий. На нижний конец нити подвесим гайку.

Использование для определения координат центра масс фигуры, вырезанной из бумаги, приводит к большой погрешности, так как лист бумаги при подвешивании изгибается, что приводит к смещению центра масс. Поэтому для увеличения точности следует перенести фигуру на лист картона и определение области, в которой находится центр масс, провести с её использованием. После этого можно с помощью кнопки перенести полученную область на лист бумаги с миллиметровой сеткой, и определение координат центра масс произвести уже на нём.

Координата центра масс фигуры:

x=9{,}1\pm0{,}2\ \text{см}

y=5{,}8\pm0{,}2\ \text{см}

Исходный подвес фигуры: отверстия, гайка на отвесе, полный контур и обе размерные линейки.

Исходная фигура с координатной сеткой и красными пересекающимися отвесными линиями, центр масс и полные оси.

Для определения массы гайки нам понадобится масса фигуры из бумаги или фигуры из картона. Так как поверхностные плотности бумаги и картона известны, то определить массу можно, найдя площадь фигуры $S$ . Масса бумажной фигуры $m_0$ равна

m_0=\sigma_0S

Масса фигуры из картона $m$ равна

m=\sigma S

Для определения площади воспользуемся методом палетки. Берем фигуру из бумаги, с помощью сетки она поделена на квадраты площадью $S_0=1$ см². Посчитаем количество полных квадратов и количество неполных квадратов, определим площадь фигуры

S=256S_0+\frac{1}{2}\cdot57S_0=284{,}5\ \text{см}^2

Найдем массу фигуры из бумаги:

m_0=\sigma_0S=2{,}28\ \text{г}

Найдем массу картонной фигуры:

m=\sigma S=7{,}28\ \text{г}

Полная исходная фигура для подсчёта площади: красные полные квадраты, синие неполные квадраты, сетка и оси.

Найдем массу гайки.

Основная идея следующая: к фигуре либо из бумаги, либо из картона в разные точки подвешивается гайка, определяется положение центра масс полученной системы (положение точки, в которой должна находиться опора, чтобы полученная система находилась в равновесии).

Способы реализации:

А) применимы и для бумажной и для картонной фигуры. Из фигуры делаем рычаг (сворачиваем в трубочку или складываем гармошкой), на фигурный конец в разные места подвешиваем гайку на нити, помещаем на край стола, так чтобы гайка на нити висела свободно, аккуратно выдвигаем свисающий край рычага и определяем крайнее положение точки опоры, при котором рычаг (сложенная фигура) ещё остаётся горизонтальным. При сворачивании фигуры следует убедиться, что положение центра масс $C$ по линии сворачивания (сгибания) остается прежним, либо заново его определить.

Запишем правило моментов для крайнего положения относительно точки опоры

mgl=MgL

Исходный рычаг с гайкой: опора, C, плечи l и L, массы m и M и обе стрелки сил тяжести.

Отсюда

L=\frac{m}{M}l\qquad(*)

Возможно измерение массы гайки из углового коэффициента наклона графика $L(l)$ , либо для увеличения точности производим измерения несколько раз (не менее пяти) при максимально возможных значениях плеч, по формуле (*) рассчитываем значение массы гайки $M$ .

$l$ , см	$L$ , см	$M$ , г
6,0	7,9	5,53
5,9	7,9	5,44
6,1	7,8	5,69
6,1	7,9	5,62
6,0	8,0	5,46

Среднее значение массы гайки

M_{\text{ср}}=5{,}55\ \text{г}

Результаты измерения для построения графика $L(l)$ приведены в таблице.

$N$	$l$ , см	$L$ , см
1	6,0	7,9
2	5,5	7,5
3	5,2	6,9
4	4,9	6,4
5	4,3	5,7
6	3,9	5,2
7	3,6	4,6
8	3,2	4,1
9	2,9	3,7
10	2,5	3,2
11	2,0	2,6

График зависимости $L(l)$ приведен на рисунке.

Полный исходный график L от l в сантиметрах: все точки, красная прямая и все деления осей.

Определим угловой коэффициент наклона графика $k$

k=\frac{\Delta L}{\Delta l}=\frac{7{,}9}{6{,}0}=1{,}32

Так как угловой коэффициент $k$ равен отношению масс

k=\frac{m}{M},

то масса гайки равна

M=\frac{m}{k}=\frac{7{,}28}{1{,}32}=5{,}52\ \text{г}

Б) применим только для картонной фигуры, так как бумажная будет прогибаться под тяжестью гайки. Можно на фигуре провести отрезок прямой линии, проходящей через центр масс, желательно имеющий наибольшую длину (для увеличения точности измерений). На этой прямой в нескольких точках сделать проколы кнопкой, затем с помощью нити к этим точкам подвешивать гайку. А затем используем метод, описанный в варианте А.

В) применим и для бумажной и для картонной фигур. Будем подвешивать фигуру на нити, как это делалось раньше. К фигуре прикрепим гайку на нити, при помощи предварительно проделанных отверстий. Таким образом появляется момент силы тяжести гайки, который уравновешивается моментом сил тяжести фигуры. Запишем правило моментов системы относительно точки подвеса:

mgl_{\text{фигуры}}=Mgl_{\text{гайки}},

где $M$ — масса гайки. Плечи сил определяем, измерив расстояния от вертикальной линии. Снимем зависимость плеча силы тяжести гайки $l_{\text{гайки}}$ от плеча силы тяжести листа $l_{\text{фигуры}}$ . Для этого проделаем несколько отверстий на линии соединяющей центр масс и самую удаленную точку от центра масс (таким образом добиваемся большей точности измерений за счет большего плеча). Из правила моментов получаем выражение для массы гайки:

M=m\frac{l_{\text{листа}}}{l_{\text{гайки}}}

Отношение плеч определяем по коэффициенту наклона графика $l_{\text{гайки}}(l_{\text{листа}})$ .

Исходный подвес фигуры с гайкой: все отверстия, оба плеча, центр масс, силы mg и Mg и размерные линейки.

Оригинал в Архива: Ru25-R-E.pdf · допълнителни данни: Ru25-R-E-radian-templates.pdf · допълнителни данни: Ru25-R-E-nuts-template.pdf

$N$	$l$ , см	$L$ , см
1	6,0	7,9
2	5,5	7,5
3	5,2	6,9
4	4,9	6,4
5	4,3	5,7
6	3,9	5,2
7	3,6	4,6
8	3,2	4,1
9	2,9	3,7
10	2,5	3,2
11	2,0	2,6

$N$	$l$ , см	$L$ , см
1	6,0	7,9
2	5,5	7,5
3	5,2	6,9
4	4,9	6,4
5	4,3	5,7
6	3,9	5,2
7	3,6	4,6
8	3,2	4,1
9	2,9	3,7
10	2,5	3,2
11	2,0	2,6

$N$	$l$ , см	$L$ , см
1	6,0	7,9
2	5,5	7,5
3	5,2	6,9
4	4,9	6,4
5	4,3	5,7
6	3,9	5,2
7	3,6	4,6
8	3,2	4,1
9	2,9	3,7
10	2,5	3,2
11	2,0	2,6