ВсОШ 2025, Регионален етап — Задача 1. 7-Т1 · Случай на эскалаторе

Для упрощения формул договоримся при решении задачи пользоваться несистемными единицами измерения:

• ступеньками для измерения пути;
• ступеньками в секунду для измерения скорости.

К моменту встречи друзья шли по эскалаторам одинаковое время, поэтому отношение пройденных ими путей — это отношение их скоростей. Значит Глюк идёт быстрее. Обозначим скорость Бага $v$, тогда скорость Глюка в 3 раза больше — $N_1v/N_2=3v$. Также введём обозначение для скорости эскалатора — $u$, и для времени, прошедшего с начала движения до момента встречи друзей — $t$.

Способ 1. Полное время движения Глюка по эскалатору $t_{\text{Г}}=(N_3/N_1)t=3t/2$.

Выразим число ступенек эскалатора двумя разными способами. К моменту встречи Глюк прошёл путь $N_1$, Баг — $N_2$, а эскалаторы каждого из друзей успели переместить на $ut$, значит:

С другой стороны, когда Глюк дошёл до конца эскалатора, он преодолел расстояние $N_3$, а его эскалатор успел сместить в ступеньку, с которой экспериментатор начинал движение, на $3ut/2$, тогда:

Приравнивая правые части формул, получим:

Откуда $ut=2(N_3-N_1-N_2)=48$ ступенек. То есть скорость эскалатора в точности равна скорости Бага $(u=v)$.

Подставляя полученное значение в любое из выражений для $N$ получим $N=4N_3-3N_1-3N_2=288$ ступенек.

За всё время движения Баг насчитает

Способ 2. Путь, пройденный Глюком относительно своего эскалатора до момента встречи:

Путь, пройденный Багом относительно своего эскалатора до момента встречи:

Полный путь, пройденный Глюком относительно своего эскалатора:

Отсюда $t_{\text{Г}}=N_3t/N_1=3t/2$.

По условию длина эскалатора, с одной стороны, равна сумме расстояний относительно Земли, пройденных Глюком и Багом до встречи, а с другой стороны, равна расстоянию относительно Земли, пройденному Глюком при спуске по всему эскалатору целиком:

Приравнивая правые части и подставляя $t_{\text{Г}}=3t/2$, получаем, что $u=v$. Тогда:

Баг поднимался по эскалатору в течение времени $t_{\text{Б}}=N/(v+u)$. За это время он насчитает:

Всего на эскалаторе $N=288$ ступенек.

Примечание к источнику: в первом выражении для $N$ на странице 21 напечатано $2at$; обозначенная скорость эскалатора и последующее уравнение используют $u$. Сохранены обе исходные записи.