Съдържание

ВсОШ 2025, Регионален етап — Задача 14. 10-Т1 · Исследовательский зонд

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2025

Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап, теоретический тур — Москва,2025

Внимание: Бележка към темата

Полный исходный60-страничный сборник:23целые задачи7–11классов,55номерованных запросов и6ненумерованных; все напечатанные возможные решения/варианты. Исходные несогласованности сохранены и отмечены отдельно. Баллы, критерии и продолжительность в данном источнике не напечатаны. Для измерений и построений используйте исходныйPDF с родным масштабом.

Титул, авторы и материалы исходного сборника

Министерство просвещения Российской Федерации. Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике. Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур. Москва,2025г.

Комплект задач подготовлен центральной предметно-методической комиссией Всероссийской олимпиады школьников по физике. E-mail:physolymp@gmail.com.

Авторы задач

7-Т1. Александр Евсеев
7-Т2. Ольга Инишева
7-Т3. Константин Кутелев
7-Т4. Александр Евсеев
8-Т1. Андрей Сеитов
8-Т2. Александр Евсеев
8-Т3. Александр Евсеев
8-Т4. Ольга Инишева
9-Т1. Константин Кутелев
9-Т2. Антон Вергунов
9-Т3. Владимир Савинцев
9-Т4. Денис Рубцов
9-Т5. Матвей Муравьев, Иван Гурьянов
10-Т1. Алексей Заяц
10-Т2. Александр Киреев
10-Т3. Леонид Колдунов
10-Т4. Анна Шишкина
10-Т5. Юрий Черников
11-Т1. Александр Аполонский
11-Т2. Александр Аполонский
11-Т3. Константин Парфенов
11-Т4. Алексей Заяц
11-Т5. Юрий Черников

Как готовиться к региональному этапу?

В МФТИ запущен классный проект «Физтех-регионам» (https://os.mipt.ru), где в публичном бесплатном доступе лежат лекции и семинары по всем классам и по всем темам. Там же выложены подборки задач по темам. Уровень материалов позволяет хорошо подготовиться к муниципальному и региональному этапу Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Если вы школьник, просто пользуйтесь доступными материалами. Если вы преподаватель или сотрудник регионального органа образования, то МФТИ готов помочь организовать на базе вашей школы или центра по работе с талантливыми детьми кружок по физике. Занятия будут проходить по программе «Физтех-регионам», и МФТИ не берет никаких денег за эти материалы. Единственное, вам нужно будет обеспечить работу преподавателя. Подобным образом уже функционируют кружки в более чем40регионах России.

В исходном ключе заголовок «Возможные решения». Сохранены родные группы7,8,9,10и11классов и исходные обозначения каждой целой задачи.

Условие

Исследовательский зонд, находящийся на круговой орбите радиуса $R$ вокруг планеты Шелезяка, изучает движение Болтика — маленького спутника планеты. Орбита Болтика также является круговой с радиусом $r$ $(r<R)$ и лежит в той же плоскости, что и орбита зонда (см. рис. 1). В процессе наблюдения приборы зонда зафиксировали, что Болтик спустя $t_1=165$ мин после пересечения им видимого края диска планеты оказался на максимальном угловом расстоянии $\theta_{max}=15^{\circ}$ от центра Шелезяки, а ещё спустя некоторое время, большее $t_1$ , снова пересёк край видимого диска планеты. Известно, что между указанными пересечениями других пересечений Болтика с видимым краем планеты не было. Планета Шелезяка имеет форму шара и лишена атмосферы. Масса Болтика много меньше массы планеты, зонд и спутник обращаются вокруг планеты в одну и ту же сторону. Угловой диаметр планеты, наблюдаемый зондом, равен $2\theta_0=6^{\circ}$ . Гравитационная постоянная равна $G=6{,}67\cdot10^{-11}$ Н·м²/кг².

Native research-probe orbit diagram with complete planet, Boltik, probe, R/r labels, orbit boundaries, arrows and printed Figure 1 caption. Original PDF diagram-column crop; no masking or redrawing.

Примечание:

Угловым расстоянием между точками $A$ и $B$ называется величина угла $\angle ASB$ , на сторонах которого лежат рассматриваемые точки, а вершина $S$ находится в точке наблюдения (см. рис. 2а).
Угловым диаметром астрономического объекта (например, звезды или планеты) называется величина максимально возможного угла $\alpha$ между двумя касательными к поверхности рассматриваемого объекта, вершина которого находится в точке наблюдения $S$ (рис. 2б).

1 Определите отношение $R/r$ .

2 Чему равен период обращения зонда $T$ вокруг Шелезяки?

3 Найдите среднюю плотность Шелезяки $\rho$ .

Решение

Угловое расстояние между Болтиком и центром Шелезяки будет максимальным, когда прямая «зонд-Болтик» станет касательной к орбите спутника. В этом случае $\sin\theta_{max}=r/R$ , откуда

\frac Rr=\frac1{\sin\theta_{max}}\approx3{,}864.

Пусть $M$ — масса Шелезяки. Угловые скорости движения спутника и зонда, соответственно, равны

\omega_{\text{с}}=\sqrt{\frac{GM}{r^3}},\quad\omega_{\text{з}}=\sqrt{\frac{GM}{R^3}}\Rightarrow\omega_{\text{с}}=\omega_{\text{з}}\left(\frac Rr\right)^{3/2}\approx7{,}595\omega_{\text{з}}.

Следовательно, с точки зрения зонда спутник делает один оборот вокруг планеты за время

T_{\text{отн}}=\frac{360^{\circ}}{\omega_{\text{с}}-\omega_{\text{з}}}=\frac{360^{\circ}}{6{,}595\omega_{\text{з}}}=\frac T{6{,}595}.

Чтобы найти $T_{\text{отн}}$ , сделаем чертёж (см. рис.), где точка $O$ — центр планеты, точка $S$ — исследовательский зонд, а нарисованная окружность — орбита Болтика. В точках $A$ или $C$ спутник находится на краю видимого диска планеты, а точка $B$ соответствует максимальному угловому расстоянию между центром Шелезяки и Болтиком (при наблюдении с зонда).

Complete native planet/orbit tangent construction, O/A/B/C/D/S, angle/perpendicular marker and all dashed/tangent lines.

Из геометрии рисунка $\angle ASB=\theta_{max}-\theta_0=12^{\circ}$ , $\angle ODA=90^{\circ}+\angle ASB=102^{\circ}$ . По теореме синусов для треугольника $\triangle SOA$

\frac R{\sin(\angle OAS)}=\frac r{\sin\theta_0},

откуда, учитывая, что $\angle OAS>90^{\circ}$ , получим, что

\sin(\angle OAS)=\frac Rr\cdot\sin\theta_0=3{,}864\cdot\sin3^{\circ}\approx0{,}202\Rightarrow\angle OAS\approx168{,}334^{\circ}.

Найдём угол $\angle AOB$ :

\angle AOB=\angle OAS-\angle ODA=66{,}334^{\circ}.

Так как движение по окружности равномерное, $\angle AOB=360^{\circ}t_1/T_{\text{отн}}$ , откуда

T_{\text{отн}}=\frac{360^{\circ}}{66{,}334^{\circ}}\cdot t_1\approx5{,}43\cdot165\ \text{мин}\approx895\ \text{мин}.

С учётом того, что $T=6{,}595T_{\text{отн}}$ , получим

T\approx5900\ \text{мин}.

Пусть $R_{\text{Ш}}$ — радиус Шелезяки, тогда

\sin\theta_0=\frac{R_{\text{Ш}}}{R}\Rightarrow R_{\text{Ш}}=R\sin3^{\circ}\approx0{,}0523R.

Записывая массу планеты как $M=4\pi R_{\text{Ш}}^3\rho/3$ и подставляя её в выражение для угловой скорости движения зонда по орбите, получим

\omega_{\text{з}}^2=\frac{G\cdot4\pi R_{\text{Ш}}^3\rho/3}{R^3}\Rightarrow\frac{4\pi^2}{T^2}=\frac{4\pi G}3\cdot\rho\cdot0{,}0523^3,

откуда

\rho=\frac{3\pi}{GT^2\cdot0{,}0523^3}\approx7900\ \text{кг/м}^3.

Оригинал в Архива: Ru25-R-T.pdf · решение от архива: Ru25-R-T.pdf