ВсОШ 2025, Регионален етап — Задача 15. 10-Т2 · С ускорением

После пережигания нити длина вертикального участка цепочки, на край которой действует сила $F$, будет увеличиваться. Другой участок цепочки сокращающейся длины будет двигаться только под действием силы тяжести, значит модуль ускорения верхнего края цепочки сразу после пережигания и до момента полного разворота цепочки равен

Способ 1. Согласно теореме о движении центра масс ускорение центра масс цепочки в проекции на ось $y$ (см. рисунок) равно $a_y=(mg-F)/m=g-F/m$. За время $\tau$ центр масс цепочки сместится вдоль оси $y$ на $a_y\tau^2/2$. Верхний край цепочки за время $\tau$ переместится на расстояние $g\tau^2/2$, значит $L+a_y\tau^2/2=g\tau^2/2$. С учётом полученных соотношений

Способ 2. Ответ на вопрос можно получить и другим способом. Перейдем из лабораторной системы отсчёта (далее — ЛСО) в неинерциальную систему отсчёта (далее — НеИСО), падающую вниз без начальной скорости с ускорением свободного падения $g$. В этой системе отсчёта изначально неподвижная цепочка приходит в движение под действием лишь одной силы $F$. И сумма действующих на любой элементарный (малый) участок силы тяжести и силы инерции равна нулю. В этом случае центр масс цепочки движется согласно теореме о движении центра масс с ускорением $a'=F/m$ и проходит за искомое время $\tau$ расстояние $L$. А значит $\tau=\sqrt{2L/a'}$, что дает тот же ответ.

Способ 1. Через время $\tau$ все части цепочки движутся с одинаковой скоростью, равной скорости её центра масс. А значит $v=|v_y|=|a_y|\tau$, то есть

Способ 2. Ответ на этот пункт можно получить, также используя пересадку в НеИСО. Скорость в данной системе отсчёта сразу после разворота цепочки равна $v'=a'\tau=(F/m)\sqrt{2Lm/F}=\sqrt{2FL/m}$ и направлена вверх. В данный момент выбранная система отсчёта будет двигаться вниз со скоростью $v_{\text{с}}=g\tau=g\sqrt{2Lm/F}$.

При пересадке обратно в ЛСО с учётом закона сложения скоростей получаем $v_y=v_{\text{с}}-v'=(g-F/m)\sqrt{2Lm/F}$. А значит $v=|v_y|$.

Способ 1. Работа $A_F$ силы $F$ равна сумме изменения механической энергии $\Delta E_{\text{мех}}$ цепочки и выделившегося количества теплоты $Q$: $A_F=\Delta E_{\text{мех}}+Q$, где $A_F=F(L-a_y\tau^2/2)$, $\Delta E_{\text{мех}}=\Delta K+\Delta\Pi=mv^2/2-mg\cdot a_y\tau^2/2$. Откуда находим $Q=FL$.

Способ 2. В НеИСО к моменту полного разворота цепочки точка приложения силы $F$ переместится на $2L$, а значит её работа равна $2FL$. Изменение кинетической энергии цепочки равно $mv'^2/2=FL$. С учётом этого находим выделившееся количество теплоты $Q=2FL-FL=FL$ (как разность работы силы $F$ и изменения кинетической энергии).

Способ 1. После распрямления цепочки выделим нижнюю половину нити (ниже точки $B$) массой $m/2$ и запишем для этого участка теорему о движении центра масс в проекции на ось $Oy$: $(m/2)a_y=(m/2)g-T$. В итоге получаем

Рассматривая движение в НеИСО, на нижнюю половину цепочки после её разворота будет действовать сила $T=(m/2)a'=F/2$.