ВсОШ 2025, Регионален етап — Задача 16. 10-Т3 · Пузырёк чёрного курильщика

Пузырёк будет находится в равновесии, если плотность газа $\rho$ внутри него будет равна плотности воды $\rho_{\text{в}}$.

Плотность газа согласно уравнению Менделеева-Клапейрона определяется выражением: $\rho=\mu p/(RT)$, где $T$ — температура газа в кельвинах, $p$ — давление газа на глубине $h$, равное $p=p_0+\rho_{\text{в}}gh$. Откуда получаем, что плотность газа равна

Температура воды изменяется с глубиной, при этом данная зависимость не задана аналитически, а представлена в виде графика. Поэтому представим условие равновесия графически. Для этого из последнего уравнения получим зависимость температуры $T$ газа внутри пузырька от глубины $h$, на которой данный пузырёк находится. Учитывая, что $\rho=\rho_{\text{в}}$, из последнего уравнения находим: $T=\mu p_0/(R\rho_{\text{в}})+(\mu g/R)\cdot h$. Подставим числа в уравнение: $T=2{,}62\,\text{К}+0{,}267\,\text{К/м}\cdot h$.

Учитывая связь температуры $t$ по шкале Цельсия с температурой $T$ по шкале Кельвина, получаем: $t=-270{,}53\,{}^{\circ}\text{C}+0{,}267\,{}^{\circ}\text{C/м}\cdot h$. Полученную из условия равновесия зависимость $t(h)$ и зависимость из условия задачи представим на одном графике. Видно, что графики зависимостей пересекаются в трёх точках $A,B$ и $C$, значит существует три соответствующие положения равновесия.

Из графика находим глубину для трёх положений равновесия пузырька, соответствующие точкам $A,B$ и $C$ графика: $h_A=(103010)$ м; $h_B=(111010)$ м; $h_C=(113510)$ м.

Проанализируем положение равновесия в точке $A$ на устойчивость. Пусть пузырёк смещается на чуть большую глубину. В этом случае температура газа внутри пузырька будет меньше той, которая необходима для обеспечения его равновесия, а значит плотность газа в пузырьке будет больше плотности воды. Это означает, что сила Архимеда будет меньше силы тяжести и, следовательно, пузырёк будет тонуть и дальше. То есть получаем, что положение равновесия в точке $A$ неустойчиво. Аналогично рассуждая, получим, что положение равновесия в точке $B$ устойчиво, а в точке $C$ — неустойчиво.

Примечание к источнику: на странице 47 три числовые записи глубины напечатаны без видимого разделителя или знака погрешности. Они сохранены буквально; график с пересечениями является частью исходного ключа.