ВсОШ 2025, Регионален етап — Задача 17. 10-Т4 · Точно не Снеллиус?

В условии задачи не указан тип линзы, поэтому необходимо понять, какая линза может быть. Изображение действительного объекта в рассеивающей линзе всегда лежит между фокальной плоскостью и плоскостью линзы. Так как $B'$ лежит в плоскости двойного фокуса, то линза не может быть рассеивающей, поэтому делаем вывод, что линза собирающая. Изображение $B'$ может быть действительным или мнимым.

Рассмотрим сначала случай, когда изображение $B'$ действительное. Если изображение действительное, то точки $B$ и $B'$ лежат в плоскостях двойного фокуса и оптический центр лежит на середине отрезка $BB'$.

Рассмотрим теперь случай, когда изображение $B'$ мнимое. В этом случае $B$ лежит между фокальной плоскостью и плоскостью линзы. Запишем формулу тонкой линзы для этого случая:

откуда находим, что $a=2F/3$, а расстояние между предметом и его изображением $\Delta=2F-a=4F/3$ в два раза больше расстояния между предметом и линзой $a$.

Для построения оптического центра линзы в первом случае делим отрезок $BB'$ пополам, на середине этого отрезка и будет оптический центр $O$. Во втором случае делим отрезок $BB'$ пополам, продолжаем прямую проходящую через этот отрезок за точку $B$ и откладываем еще половину отрезка $BB'$ — найденная точка будет оптическим центром $O$.

Для восстановления положения линзы найдём вторую точку линзы, для этого заметим, что луч $AB$ после преломления в линзе пойдёт вдоль прямой $\alpha$, так как изображение точки $A'$ также лежит на этой прямой. Продолжим прямую, проходящую через отрезок $AB$, до пересечения с прямой $\alpha$, найденная точка пересечения $L$ будет принадлежать плоскости линзы. Рисуем линзу в виде отрезка, содержащего точки $L$ и $O$. Для восстановления главной оптической оси (далее ГОО) построим перпендикуляр к линзе в точке $O$.

Чтобы найти фокус, можно пойти двумя путями:

а) Пустим из т. $B$ луч, идущий параллельно ГОО, который после преломления в линзе пройдет через т. $B'$ и пересечёт ГОО в точке фокуса;

б) Вспомним, что т. $B'$ лежит в двойной фокальной плоскости. Проведём эту плоскость, определим по её пересечению с ГОО точку двойного фокуса, разделим получившийся отрезок пополам и получим точку фокуса $F$. На рисунке представлены построения, соответствующие второму способу решения.

Чтобы построить точку $A'$ можно пойти двумя путями:

а) Пустим из т. $A$ луч, параллельный ГОО. После преломления в линзе этот луч пройдет через фокус и пересечется с прямой $\alpha$ в т. $A'$.

б) Пустим из т. $A$ луч, проходящий через оптический центр $O$. Луч (в первом случае) или его продолжение (во втором случае) пересечется с прямой $\alpha$ как раз в т. $A'$.