ВсОШ 2025, Регионален етап — Задача 18. 10-Т5 · Усилитель

Если $I$ — сила тока, текущего между стоком и истоком в цепи усилителя, то

Данная зависимость называется нагрузочной характеристикой, а её график, в данном случае, — нагрузочной прямой. Учитывая, что эта прямая проходит через точки с координатами $(0;\mathcal E/R)$ и $(\mathcal E;0)$, построим её поверх вольт-амперной характеристики, приведённой в условии, и определим точку их пересечения. В результате получим, что

1. при $I_{\text{нас}}<\mathcal E/R$ (синяя линия на рис. 1), сила тока текущего от стока к истоку, равна $I=I_{\text{нас}}$, а $U=\mathcal E-I_{\text{нас}}R>0$;
2. при $I_{\text{нас}}\ge\mathcal E/R$ (красная линия на рис. 1), напряжение между стоком и истоком $U=0$, а сила тока $I=\mathcal E/R$.

Таким образом, напряжение на выходе усилителя не может быть отрицательным, то есть $U\ge0$.

Согласно графику зависимости $I_{\text{нас}}(U_{\text{зи}})$, приведённому в условии, на участке $U_{\text{зи}}>-U_0$ эта зависимость линейна:

следовательно, линейной будет и зависимость $U(U_{\text{зи}})$:

В этом случае выходной сигнал будет отличаться от входного лишь сдвигом и масштабированием, то есть синусоида, например, останется синусоидой:

Данное правило нарушается в двух случаях:

1. $U_{\text{зи}}\le-U_0$. Тогда

2. $U=0$. В этом случае

Подытожим: синусоидальный сигнал на входе преобразуется усилителем в синусоидальный сигнал на выходе, если для всех $U_{\text{зи}}$, удовлетворяющих условию $|U_{\text{зи}}|\le U_a$, выполняется неравенство

а) Пусть $R=5$ Ом. Тогда, подставляя остальные данные, получим

Отсюда делаем вывод, что зависимость $U(t)$ будет сохранять форму синусоиды, если $U_a\le1$ В.

б) Пусть теперь $R=16$ Ом. В этом случае неравенство для $U_{\text{зи}}$ примет вид

следовательно, синусоидальность сигнала сохраняется при $U_a\le0{,}25$ В.

Если синусоидальность выходного сигнала не нарушается, воспользуемся формулой (*), где величина $\mathcal E-I_0R$ задаёт смещение средней линии синусоиды, а $I_0R/U_0$ является масштабным множителем, имеющим смысл искомого коэффициента усиления $K$. Вычислим его при $R=5$ Ом:

При $R=8$ Ом зависимость, заданная формулой (*), будет иметь вид

График этой функции (красный пунктир на рис. 2) — сдвинутая вдоль вертикальной оси синусоида, минимальное и максимальное значения напряжения для которой равны

Вблизи $t=0$ она является убывающей, в отличие от функции $U_{\text{зи}}(t)$. В реальности же, полученную кривую необходимо «обрезать» сверху и снизу: сверху по линии $U=\mathcal E=10$ В, снизу — по линии $U=0$. Получившаяся кривая (сплошная линия на рис. 2) и есть требуемый график.

Характерные точки и особенности графика:

1. График является «обрезанной», смещённой вверх по оси ординат синусоидой;
2. $U(N\tau)=6$ В, где $N=0,\pm1,\pm2,\ldots$;
3. Вблизи оси ординат (оси $U$) наклон кривой отрицательный;
4. Значения больше 10 В и меньше 0 В «обрезаны» горизонтальными линиями $U=10$ В и $U=0$ В;
5. Горизонтальные участки симметричны относительно положения пиков исходной синусоиды (то есть точек с абсциссами $\pm\tau/2,\pm3\tau/2,\ldots$);
6. Верхние горизонтальные участки длиннее нижних.