ВсОШ 2025, Регионален етап — Задача 20. 11-Т2 · Больше или меньше

Способ 1. Через любую точку, соответствующую состоянию газа в координатах $pV$ проходит ровно одна изотерма. Изотермы друг с другом не пересекаются и расположенным выше изотермам соответствуют большие температуры. При переходе газа из состояния 1 в состояние 2, точка, соответствующая его состоянию, не может перемещаться с «верхних» изотерм на «нижние», так как температура газа не уменьшается, а траектория процесса лежит между изотермами, проходящими через точки 1 и 2.

Если теперь рассмотреть аналогичным образом на той же $pV$ — плоскости семейство адиабат, то точка, соответствующая состоянию газа не может перемещаться с «верхних» адиабат на «нижние», так как тепло от газа не отводится, следовательно, траектория процесса лежит между адиабатами, проходящими через точки 1 и 2 (см. рис.).

Покажем, что максимальное количество теплоты в таком процессе подводится к газу в случае, если его сначала адиабатически перевести из состояния 1 в состояние 3, затем изотермически из состояния 3 в состояние 2. Рассмотрим цикл $1\text{–}3\text{–}2\text{–}1$, полагая переход из состояния 2 в состояние 1 произвольным, лежащим внутри криволинейного четырёхугольника $1\text{–}3\text{–}2\text{–}4\text{–}1$. Работа в этом цикле равна разности подведённого на участке $1\text{–}3\text{–}2$ количества теплоты $Q_{132}$ и отведённого при переходе $2\text{–}1$ количества теплоты $Q_{21}$. Так как работа положительна, $Q_{132}>Q_{21}$. Так как процесс 21 выбран произвольно (при ограничениях на подвод тепла и изменение температуры, которые оговорены в условии), то величина $Q_{132}$ соответствует максимальному значению количества теплоты, которое может быть подведено при таком переходе. Аналогично можно показать, что минимально возможному количеству теплоты соответствует процесс, при котором газ сначала изотермически расширяется из состояния 1 в состояние 4, а затем адиабатически сжимается, переходя из состояния 4 в состояние 2.

Способ 2. Приведём анализ характера процессов $A$ и $B$ с использованием понятия энтропии. Процессы $A$ и $B$ протекают так что, в течение всего процесса температура газа не уменьшается и тепло от газа не отводится, значит энтропия в этих процессах не может уменьшаться. Подведенная теплота и изменение энтропии связаны соотношением: $\delta Q=T\,dS$.

Процесс $A$ протекает с максимально возможным подведенным теплом, значит в этом процессе все подведенное тепло должно быть передано при максимально возможной температуре. Для этого систему нужно перевести без подвода тепла в состояние с максимально возможной температурой, что соответствует процессу, в котором газ сначала адиабатически сжимается из состояния 1 в состояние 3, а затем изотермически расширяется, переходя из состояния 3 в состояние 2. Процесс $B$ протекает с минимально возможным подведенным теплом, значит в этом процессе все подведенное тепло должно быть передано при минимально возможной температуре, после чего в состояние 2 систему нужно перевести без подвода тепла. Это соответствует процессу, при котором газ сначала изотермически расширяется из состояния 1 в состояние 4, а затем адиабатически сжимается, переходя из состояния 4 в состояние 2.

Перейдём к вычислению объёмов, соответствующих точкам 3 и 4. Уравнение, связывающее переменные $T$ и $V$ в адиабатическом процессе:

где $\gamma$ — показатель адиабаты. Для одноатомного идеального газа $\gamma=5/3$ и $TV^{2/3}=\mathrm{const}$. Отсюда для процесса $A$:

Очевидно что $V_A^{max}=2V$. Для процесса $B$:

Разумеется $V_B^{min}=V$.

Теплота в этих процессах подводится на изотермах. Количество теплоты в изотермическом процессе равно работе газа. Для процесса $A$:

Для процесса $B$:

Примечание к источнику: последний переход на странице 55 напечатан с множителем $2\nu RT$ слева, хотя процесс $B$ описан при температуре $T$ и итоговый ответ равен $\frac52\nu RT\ln2$. Обе исходные записи сохранены.