Съдържание

ВсОШ 2025, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 20. 11 класс. 2. Эффект Казимира

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 01.12.2025 г. · 1 декември 2025 г.

Условие

Три вертикальные пунктирные линии — сетки 1, 2 и 3 (подписи снизу), расположенные на равных расстояниях; над ними подписаны заряды –Q, 4Q и –2Q соответственно.

Три протяженные тонкие металлические сетки 1, 2 и 3, имеющие заряды $q_1 = -Q$ , $q_2 = 4Q$ и $q_3 = -2Q$ ( $Q > 0$ ) соответственно, расположены параллельно на равных расстояниях $d_{12} = d_{23} = d$ друг от друга (см. рис.). Площадь каждой из сеток равна $S$ (расстояние $d \ll \sqrt{S}$ ).

1) Найдите модуль электрической силы, действующей на среднюю сетку со стороны двух других.

2) Найдите разность потенциалов между первой и второй сетками.

3) Если от первой сетки отделится без начальной скорости электрон, то на какое минимальное расстояние он приблизится к третьей сетке?

4) Найдите модуль электрической силы, действующей на среднюю сетку со стороны двух других при тех же условиях, но $d \gg \sqrt{S}$ .

5) Получите формулу для модуля силы взаимного притяжения, действующей на единицу площади двух параллельных незаряженных сеток 1 и 2 (без третьей сетки) при расстоянии $d \sim 0{,}1$ мкм по эффекту Казимира (квантовые флуктуации вакуума), если модуль силы Казимира, действующей на единицу площади одной сетки со стороны другой, имеет вид $F/S = \alpha\cdot h^x\cdot c^y\cdot d^z$ , где $h = 6{,}6\cdot 10^{-34}$ Дж·с – постоянная Планка, $c = 3\cdot 10^8$ м/с – скорость света в вакууме, $\alpha$ – некоторая безразмерная постоянная, $x$ , $y$ и $z$ – целые числа, которые вам нужно найти.

Отговори

Решение

2. Эффект Казимира (Зайцев Р.)

Возможное решение.

Согласно принципу суперпозиции, модуль напряжённости поля, созданного сетками 1 и 3 в области между ними, равен:

E_{13} = E_3 - E_1 = \frac{2Q - Q}{2\varepsilon_0 S} = \frac{Q}{2\varepsilon_0 S}.

Тогда, из определения напряжённости:

F = 4QE_{13} = \frac{2Q^2}{\varepsilon_0 S}.

Согласно принципу суперпозиции, модуль напряжённости поля (от всех трех зарядов) между сетками 1 и 2 равен:

E_{12} = E_2 + E_1 - E_3 = \frac{3Q}{2\varepsilon_0 S}.

Тогда разность потенциалов между первой и второй сетками:

U_{12} = -E_{12}d = -\frac{3Qd}{2\varepsilon_0 S}.

Знак минус показывает, что потенциал сетки 1 меньше потенциала сетки 2.

Работа поля 12 по разгону электрона компенсируется работой поля 23 по остановке электрона на некотором расстоянии от третьей сетки:

qU_{12} = -qU_{2X}.

Т.к. поле однородно:

$\dfrac{U_{2X}}{U_{23}} = \dfrac{l}{d} \quad \Rightarrow \quad l = \dfrac{-U_{12}}{U_{23}}d$ , где $l$ – расстояние от второй сетки до места остановки электрона.

$U_{23}$ определяется аналогично $U_{12}$ : $U_{23} = E_{23}d = \frac{5Qd}{2\varepsilon_0 S}$ .

Тогда искомое расстояние:

x = d - l = d\left(1 + \frac{U_{12}}{U_{23}}\right) = 0{,}4d.

При d $\gg \sqrt{S}$ сетки можно считать точечными зарядами. Из закона Кулона и принципа суперпозиции: $F = \frac{4Q^2}{d^2\,4\pi\varepsilon_0}$ .
Методом анализа размерностей составим равенство:

$\left(\mathrm{кг}\cdot\frac{\mathrm{м}^2}{\mathrm{с}^2}\cdot\mathrm{с}\right)^x \cdot \left(\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}\right)^y \cdot \mathrm{м}^z = \frac{\mathrm{кг}\cdot\mathrm{м}}{\mathrm{м}^2\mathrm{с}^2} = \frac{\mathrm{кг}}{\mathrm{м}\cdot\mathrm{с}^2}$ .

Решая систему линейных уравнений, полученных из равенства показателей соответствующих степеней для каждой из единиц измерения (кг, м, с), получим модуль силы притяжения Казимира, действующей на единицу площади незаряженных сеток:

$F/S = \alpha \cdot h^1 \cdot c^1 \cdot d^{-4}$ ( $x = 1$ , $y = 1$ , $z = -4$ ).

Критерии оценивания

№	Критерий	Баллы
1	Согласно принципу суперпозиции, модуль напряжённости поля, созданного сетками 1 и 3 в области между ними, равен: $E_{13} = E_3 - E_1 = \frac{2Q - Q}{2\varepsilon_0 S} = \frac{Q}{2\varepsilon_0 S}$ .	1
2	Модуль электрической силы, действующей на среднюю сетку: $F = 4QE_{13} = \frac{2Q^2}{\varepsilon_0 S}$ .	1
3	Согласно принципу суперпозиции, модуль напряжённости поля (от всех трех зарядов) между сетками 1 и 2 равен: $E_{12} = E_2 + E_1 - E_3 = \frac{3Q}{2\varepsilon_0 S}$ .	1
4	Разность потенциалов между первой и второй сетками: $U_{12} = -E_{12}d = -\frac{3Qd}{2\varepsilon_0 S}$ . Знак минус показывает, что потенциал сетки 1 меньше потенциала сетки 2.	1
5	Работа поля 12 по разгону электрона компенсируется работой поля 23 по остановке электрона на некотором расстоянии от третьей сетки: $qU_{12} = -qU_{2X}$ .	1
6	Минимальное расстояние электрона от третьей сетки: $x = d\left(1 + \frac{U_{12}}{U_{23}}\right) = 0{,}4d$	1
7	При d $\gg \sqrt{S}$ : $F = \frac{4Q^2}{d^2\,4\pi\varepsilon_0}$	2
8	Верно составлено равенство $\left(\mathrm{кг}\cdot\frac{\mathrm{м}^2}{\mathrm{с}^2}\cdot\mathrm{с}\right)^x \cdot \left(\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}\right)^y \cdot \mathrm{м}^z = \frac{\mathrm{кг}\cdot\mathrm{м}}{\mathrm{м}^2\mathrm{с}^2}$	1
9	Модуль силы Казимира, действующей на единицу площади незаряженных сеток: F/S= $\alpha \cdot h^1 \cdot c^1 \cdot d^{-4}$ ( $x = 1$ , $y = 1$ , $z = -4$ )	1

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2026_MUN_T.pdf