ВсОШ 2025, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 21. 11 класс. 3. Бусинки

• 1. $v_0(\varphi) = 0$
• 2. $v_0(\varphi) = \begin{cases} \frac{g\tau\mu}{2}\sin\varphi, & \mathrm{ctg}\,\varphi \geq \frac{\mu}{2} \\ g\tau\sqrt{\cos\varphi\,(\mu\sin\varphi - \cos\varphi)}, & \mathrm{ctg}\,\varphi < \frac{\mu}{2} \end{cases}$

3. Бусинки (Рубцов Д.)

Возможное решение

В отсутствие трения зависимость ускорения $a$ бусинок от угла $\varphi$: $a(\varphi) = g\cos\varphi$, значит, пройденный бусинкой за время $\tau$ путь: $l(\varphi) = v_0(\varphi)\tau + \frac{g\cos\varphi\tau^2}{2}$. Так как через время τ все бусинки оказываются на окружности диаметра $g\tau^2/2$, то из геометрии $l(\varphi) = \frac{g\tau^2}{2}\cos\varphi$. Видно, что $v_0(\varphi) = 0$.

Если есть трение, то ускорение $a(\varphi) = g(\cos\varphi - \mu\sin\varphi)$, пройденный путь $l(\varphi) = v_0(\varphi)\tau + \frac{a(\varphi)\tau^2}{2}$ или $l(\varphi) = \frac{g\tau^2}{2}\cos\varphi$. Откуда: (1) $v_0(\varphi) = \frac{g\tau\mu}{2}\sin\varphi$. Заметим, что во время движения бусинка может как ускоряться, так и замедляться – это зависит от соотношения между углом $\varphi$ и коэффициентом трения $\mu$. Значит, (2) некоторые бусинки могли остановиться, доехав до $l(\varphi) = \frac{g\tau^2}{2}\cos\varphi$. Случай (2) – когда бусинка останавливается как раз в нужном месте. Выражение для конечной скорости $v(\varphi) = g\tau\left(\cos\varphi - \frac{\mu}{2}\sin\varphi\right)$, откуда следует ограничение для случая (1): $\mathrm{ctg}\,\varphi > \frac{\mu}{2}$. Для $\mathrm{ctg}\,\varphi < \frac{\mu}{2}$ бусинка должна остановиться до момента времени τ в нужном месте. Используя формулу тормозного пути $\frac{g\tau^2}{2}\cos\varphi = \frac{v_0^2}{2g(\mu\sin\varphi - \cos\varphi)}$, получим ответ для случая (2): $v_0(\varphi) = g\tau\sqrt{\cos\varphi\,(\mu\sin\varphi - \cos\varphi)}$.

Ответ:

Если спицы гладкие, $v_0(\varphi) = 0$

Если нет, то $v_0(\varphi) = \begin{cases} \frac{g\tau\mu}{2}\sin\varphi, \text{ при } \mathrm{ctg}\,\varphi \geq \frac{\mu}{2} \\ g\tau\sqrt{\cos\varphi\,(\mu\sin\varphi - \cos\varphi)}, \text{ при } \mathrm{ctg}\,\varphi < \frac{\mu}{2} \end{cases}$

Критерии оценивания

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.