Съдържание

ВсОШ 2025, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 22. 11 класс. 4. Жёсткий стержень

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 01.12.2025 г. · 1 декември 2025 г.

Условие

Однородный жесткий проводящий стержень состоит из двух частей: первая, вертикальная, полубесконечная и неподвижная, вторая – горизонтальная массой $m$ , один из концов которой свободно вставлен в зазор между опорами (точка $B$ на рисунке). Обе части соединены шарнирно в точке $A$ . По стержню с помощью невесомых гибких проводников пропускается постоянный ток $I$ . Трением в системе пренебречь.

Вертикальный полубесконечный стержень (снизу уходит пунктиром), по которому вверх течёт ток I (красная стрелка). В верхней точке A шарнирно присоединена горизонтальная часть массой m, по которой ток I течёт вправо; её правый конец B вставлен между двумя опорами (треугольники сверху и снизу). Справа стрелка g вниз.

1. Постройте качественный график зависимости проекции силы $F_{\mathrm{B}}$ давления опоры на стержень в точке $B$ от силы тока $I$ . Укажите на графике характерные точки.

2. С каким ускорением $a_{\mathrm{B}}$ начнет двигаться точка $B$ стержня если мгновенно убрать опору, не нарушая условия протекания тока?

Отговори

Решение

4. Жёсткий стержень (Клепиков М.)

Возможное решение

Индукция магнитного поля, созданного вертикальной частью проводника, в точках горизонтального проводника направлена от нас и равна по модулю:

B = \frac{1}{2}B_\infty = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I}{x},

где $x$ – расстояние от точки $A$ , $B_\infty$ – поле бесконечного прямого проводника с током.

Элементарная сила Ампера, действующая на бесконечно малый участок $dx$ провода $AB$ , направлена вверх и равна по модулю:

dF_A = I\cdot B(x)\cdot dx = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I^2}{x}\cdot dx

Умножив последнее выражение на $x$ , получим элементарный момент силы Ампера относительно оси вращения, проходящей через точку $A$ перпендикулярно плоскости рисунка:

dM_A = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\cdot dx.

Проинтегрировав по всей длине $AB$ , получим

M_A = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\cdot l,

где $l$ – неизвестная длина части стержня $AB$ .

Уравнение моментов сил относительно выбранной оси:

M_A - mg\cdot\frac{l}{2} - F_B\cdot l = 0,

\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\cdot l - mg\cdot\frac{l}{2} - F_B\cdot l = 0,

Откуда получим

F_B(I) = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi} - \frac{mg}{2}.

График данной зависимости представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $\left(0, -\frac{mg}{2}\right)$ , что соответствует случаю отсутствия тока в системе. Точка пересечения графика с осью абсцисс $\left(\sqrt{\frac{2\pi mg}{\mu_0}}, 0\right)$ соответствует силе тока, при которой стержень не взаимодействует с опорой в точке $B$ (сумма моментов силы тяжести и силы Ампера равна нулю).

Качественный график зависимости F_B от I: ветвь параболы, начинающаяся на оси F_B в точке −mg/2 (вершина), возрастающая и пересекающая ось I (отмечен 0) в точке √(2πmg/μ0); обе характерные точки отмечены чёрными кружками.

Для нахождения ускорения точки $B$ запишем основное уравнение динамики вращательного движения:

\sum\vec{M}_i = \vec{\varepsilon}\cdot J,

Где $J = \frac{ml^2}{3}$ – момент инерции стержня относительно его конца.

\frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\cdot l - mg\cdot\frac{l}{2} = \frac{ml^2}{3}\cdot\varepsilon.

Линейное ускорение точки $B$ в начальный момент времени после удаления опоры:

a_B = \varepsilon\cdot l,

С учетом этого, получим

a_B = \frac{3\mu_0 I^2}{4\pi m} - g\cdot\frac{3}{2}.

При положительном значении $a_B$ ускорение точки $B$ направлено вверх, при отрицательном – вниз.

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1	Получена зависимость $B(x) = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I}{x}$ . Вывод из закона Био-Савара-Лапласа оценивается так же, как и рассуждение через половину поля бесконечного провода.	1
2	Выражение для момента силы Ампера $M_A = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi}\cdot l$	1
3	Правило моментов $M_A - mg\cdot\frac{l}{2} - F_B\cdot l = 0$	1
4	Получено выражение $F_B(I) = \frac{\mu_0 I^2}{4\pi} - \frac{mg}{2}$	1
5	Построен качественный график • Указано, что график является частью параболы, оси которой направлены вверх • Указаны значения величин в точках пересечения с осями (по 0,5 за каждую)	2
6	Уравнение динамики вращательного движения $\sum\vec{M}_i = \vec{\varepsilon}\cdot J$	1
7	Получен или записан момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку $A$	1
8	Связь линейного ускорения края стержня с угловым ускорением	1
9	Получено выражение $a_B = \frac{3\mu_0 I^2}{4\pi m} - g\cdot\frac{3}{2}$	1

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2026_MUN_T.pdf