Съдържание

ВсОШ 2025, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 7. 8 класс. 3. Неоднородное тело (Евсеев А.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 01.12.2025 г. · 1 декември 2025 г.

Условие

Система, состоящая из однородной балки массой $m$ , невесомых нитей и блока, а также неоднородного тела находится в состоянии равновесия (см. рисунок). Балка при этом горизонтальна. Определите, при какой массе $m_x$ неоднородного тела возможно равновесие.

Горизонтальная балка массой m, разбитая на 10 равных чередующихся светлых и тёмных отрезков. Балка подвешена на вертикальной нити к потолку в точке, отстоящей на 4 отрезка от левого конца; правый конец балки привязан к нити, перекинутой через неподвижный блок у потолка, другой конец которой прикреплён к правому краю неоднородного тела m_x. Левый конец балки соединён вертикальной нитью с левым краем тела m_x, висящего под балкой.

Отговори

Решение

3. Неоднородное тело (Евсеев А.)

Возможное решение

Расставим силы на балку и неизвестное тело. Важно! Поскольку нам неизвестно положение центра масс неоднородного тела, точка приложения силы $m_xg$ может находиться и в другом месте.

Та же система с расставленными красными стрелками сил: на балку действуют сила натяжения T_3 вверх (подвес к потолку), T_2 вверх на правом конце, T_1 вниз на левом конце и сила тяжести mg вниз в середине; на неоднородное тело m_x — T_1 вверх на левом краю, T_2 вверх на правом краю и сила тяжести m_x g вниз.

Единственное условие равновесия для неоднородного тела, которое мы можем записать с уверенностью:

T_1 + T_2 = m_xg

Выразим отсюда $T_1$ :

T_1 = m_xg - T_2

Теперь запишем связь между $T_1$ и $T_2$ через правило моментов для балки:

4T_1\cdot l + 6T_2\cdot l = mg\cdot l

4T_1 + 6T_2 = mg

Здесь $l$ – это длина единичного отрезка балки, которая, согласно рисунку, состоит из 10 таких одинаковых отрезков.

Тогда:

4(m_xg - T_2) + 6T_2 = mg

T_2 = \frac{1}{2}mg - 2m_xg

T_1 = 3m_xg - \frac{1}{2}mg

Условия, при которых равновесие является теоретически возможным, определяются неотрицательными значениями натяжения нитей. При этом натяжение третьей нити, которая соединяет балку с потолком, обнуляться в принципе не может. Это не сложно заметить, если попробовать записать правило моментов на балку относительно оси, проходящей через ее правый конец. Откуда:

\frac{1}{2}mg - 2m_xg \ge 0

3m_xg - \frac{1}{2}mg \ge 0

Откуда:

\frac{1}{4}m \ge m_x \ge \frac{1}{6}m

То есть, в зависимости от расположения центра тяжести неоднородного тела, равновесие системы будет достигаться при разных его массах.

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1	Правильно расставлены силы на балку и неоднородное тело	2
2	Записано условие равновесия: $T_1 + T_2 = m_xg$	1
3	Записано правило моментов для балки: $4T_1\cdot l + 6T_2\cdot l = mg\cdot l$ или аналогичное выражение	2
4	$T_1 = 3m_xg - \frac{1}{2}mg$	1
5	$T_2 = \frac{1}{2}mg - 2m_xg$	1
6	Условия не отрицательности натяжений нитей	1
7	$\frac{1}{4}m \ge m_x$	1
8	$m_x \ge \frac{1}{6}m$	1

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2026_MUN_T.pdf