Съдържание

ВсОШ 2025, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 8. 8 класс. 4. Нагревательный элемент (Борисов М.)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 01.12.2025 г. · 1 декември 2025 г.

Условие

В калориметр налили 2 л воды температурой $t_0 = 20\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ и поместили нагревательный элемент. Нагреватель не сразу после включения выходит на режим постоянной мощности. В течение некоторого промежутка после включения в сеть его мощность линейно возрастает, достигает максимального значения и далее остаётся постоянной. График зависимости тепловой мощности нагревателя от времени приведён на рисунке.

График на миллиметровой сетке: по вертикали P, кВт (от 0 до 2.5, метки 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5), по горизонтали t, мин (от 0 до 3.0 с шагом 0.5). Мощность линейно растёт от 0 при t = 0 до 2.0 кВт при t = 1.0 мин и далее остаётся постоянной, 2.0 кВт, до t = 3.0 мин.

Тепловыми потерями в окружающую среду можно пренебречь.

1. Какое количество теплоты получит вода от нагревательного элемента за первую минуту его работы?

2. Спустя какое время с момента включения вода нагреется на $5\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ ?

3. Спустя какое время с момента включения нагревателя вода в калориметре закипит?

4. Какая масса пара будет образовываться в единицу времени после того, как вода закипит? Удельная теплота парообразования $L = 2{,}3\cdot 10^6\,\frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ .

Отговори

Решение

4. Нагревательный элемент (Борисов М.)

Возможное решение

В течение малого промежутка времени тепловую мощность нагревательного элемента можно считать постоянной, тогда за время $\Delta\tau_i$ выделяется количество теплоты

\Delta Q_i = P_i\cdot\Delta\tau_i

Полное количество теплоты, выделяемое за конечный промежуток времени, будет определяться суммой всех малый порций

Q = \sum_i \Delta Q_i = \sum_i P_i\cdot\Delta\tau_i

-пропорционально площади под графиком.

Q_{\text{выд}}(\tau = 1\ \text{мин}) = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 10^3\cdot 60 = 60\ \text{кДж}

Для нагревания на $5\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ вода должна получить кол-во теплоты

Q_1 = cm\Delta t = 4200\cdot 2\cdot 5 = 42\ \text{кДж}

Поскольку это меньше, чем $Q_{\text{выд}}(\tau = 1\ \text{мин})$ , то вода нагреется на $5\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ пока ещё тепловая мощность нагревательного элемента растёт. Тогда согласно уравнению теплового баланса следует, что

Q_{\text{пол}} = Q_{\text{отд}}

cm\Delta t = \frac{1}{2}\cdot\tau\cdot\alpha\tau,

Где $\alpha = 2\,\frac{\text{кВт}}{\text{мин}}$ – скорость роста тепловой мощности.

Тогда для времени нагрева получаем

\tau = \sqrt{\frac{2cm\,\Delta t}{\alpha}} = \sqrt{\frac{2\cdot 4200\cdot 2\cdot 5\cdot 60}{2\cdot 10^3}} \approx 50{,}2\ \text{с}

Для того, чтобы вода закипела, она должная поглотить кол-во теплоты

Q_2 = cm(t_{\text{кип}} - t_0) = 4200\cdot 2\cdot(100 - 20) = 672\ \text{кДж}

Это больше, чем кол-во теплоты, выделяющееся на нагревательном элементе за 1 мин, значит уравнение теплового баланса для такого случая примет вид

cm(t_{\text{кип}} - t_0) = \frac{1}{2}\cdot P_{max}\cdot\tau_1 + P_{max}\tau_2

Где $\tau_1 = 1$ мин, $\tau_2$ – время которое ещё понадобится по прошествии 1 мин, $P_{\mathrm{max}} = 2$ кВт

Для времени $\tau_2$ получаем

\tau_2 = \frac{cm(t_{\text{кип}} - t_0) - 0{,}5P\tau_1}{P_{max}} = \frac{4200\cdot 2(100 - 20) - 0{,}5\cdot 2\cdot 10^3\cdot 60}{2\cdot 10^3} = 306\ c = 5{,}1\ \text{мин}

Тогда полное время с момента включения составляет

\tau = \tau_1 + \tau_2 = 6{,}1\ \text{мин}

После того, как вода закипит, всё подводимое тепло от нагревательного элемента идёт на выпаривание воды. К моменту начала кипения нагревательный элемент уже вышел на постоянную мощность, тогда за промежуток времени $\Delta\tau$ испарится масса воды $\Delta m$ в соответствии с уравнением теплового баланса

L\Delta m = P_{max}\cdot\Delta\tau

Откуда

\frac{\Delta m}{\Delta\tau} = \frac{P_{max}}{L} = \frac{2\cdot 10^3}{2{,}3\cdot 10^6} \approx 8{,}7\cdot 10^{-4}\,\frac{\text{кг}}{\text{с}} = 0{,}87\ \text{г/с}

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1	Подсчитано количество теплоты, выделяемое на нагревательном элементе как площадь под графиком за 1 мин	2
2	Подсчитано кол-во теплоты, необходимое для нагрева воды на 5 ℃. Сделан вывод о том, что тепловая мощность нагревательного элемента не вышла на максимальное значение	1
3	Правильно рассчитано время, необходимое для нагрева воды на 5 ℃	2
4	Написано уравнение теплового баланса для случая когда вода достигает температуры кипения и правильно рассчитано полное время	2
5	Написано уравнение теплового баланса для процесса кипения	2
6	Найдена скорость испарения воды	1

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2026_MUN_T.pdf