Съдържание

ВсОШ 2025, Муниципален етап, 7–11 клас — Задача 9. 9 класс. 1. Неудачные оси

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ, папка 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике. Муниципальный этап. 01.12.2025 г. · 1 декември 2025 г.

Условие

Частица двигалась в плоскости $XY$ . На рисунке приведены графики зависимостей проекций скорости частицы от времени на перпендикулярные оси координат. К сожалению оцифровка оси времени утрачена, однако известно, что минимальное значение модуля скорости было у частицы в момент $t_0 = 13{,}2$ с .

Определите:

1) модуль скорости частицы при $t = 0$ c;

2) ускорение частицы;

Графики на клетчатой сетке: вертикальная ось υx, υy, м/с с метками 0, 5, 10, 15; горизонтальная ось t без оцифровки. Одна прямая убывает от 12 м/с (при t = 0) до 4 м/с у правого края сетки, другая возрастает от 5 м/с до 11 м/с; прямые пересекаются на уровне 8 м/с.

3) угол между начальной скоростью и ускорением.

Отговори

Решение

1. Неудачные оси (Кутелев К.)

Возможное решение

Судя по графику проекции скорости, движение равноускоренное. Запишем уравнения проекции скорости:

\begin{cases} \upsilon_1 = \upsilon_{10} + a_1t \\ \upsilon_2 = \upsilon_{20} + a_2t \end{cases}

, где $\upsilon_{10} = 5$ м/с, $\upsilon_{20} = 12$ м/с.

Начальная $\upsilon_0 = \sqrt{\upsilon_{10}^2 + \upsilon_{20}^2} = 13\ \text{м/с}$ скорость

Через некоторое время $\Delta t$ после начала движения проекции скоростей оказались равны $\upsilon_8 = 8$ м/с:

\begin{cases} \upsilon_8 = \upsilon_{10} + a_1\Delta t \\ \upsilon_8 = \upsilon_{20} + a_2\Delta t \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a_1 = \dfrac{\upsilon_8 - \upsilon_{10}}{\Delta t} \\ a_2 = \dfrac{\upsilon_8 - \upsilon_{20}}{\Delta t} \end{cases} \Rightarrow \frac{a_1}{a_2} = \frac{\upsilon_8 - \upsilon_{10}}{\upsilon_8 - \upsilon_{20}} = -\frac{3}{4} = n

Модуль скорости $\upsilon$ выразим через проекции:

\upsilon^2 = \upsilon_1^2 + \upsilon_2^2 = \upsilon_{10}^2 + \upsilon_{20}^2 + (a_1^2 + a_2^2)t^2 + 2t(\upsilon_1a_1 + \upsilon_2a_2)

Данное выражение достигает минимума при $t_0$ . Выразим $t_0$ через формулу для вершины параболы:

t_0 = -\frac{2(\upsilon_1a_1 + \upsilon_2a_2)}{2(a_1^2 + a_2^2)} = -\frac{2(\upsilon_1 + \upsilon_2n)a_1}{2(1 + n^2)a_1^2} \Rightarrow a_1 = \frac{\upsilon_1 + \upsilon_2n}{(1 + n^2)t_0} = -0.4\ \text{м/с}^2

a_2 = na_1 = 0.3\ \text{м/с}^2

a = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = 0.5\ \text{м/с}^2

Угол между векторами начальной скорости и ускорения (его косинус) найдём через скалярное произведение:

\begin{cases} \vec{a}\cdot\vec{\upsilon}_0 = a_1\upsilon_{10} + a_2\upsilon_{20} \\ \vec{a}\cdot\vec{\upsilon}_0 = |\vec{a}|\cdot|\vec{\upsilon}_0|\cos(\alpha) \end{cases} \Rightarrow \cos(\alpha) = \frac{a_1\upsilon_{10} + a_2\upsilon_{20}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{\upsilon}_0|} = \frac{a_1\upsilon_{10} + a_2\upsilon_{20}}{a\upsilon_0} \approx 0.51

Это соответствует углу примерно 120 градусов.

Критерии оценивания

№	Критерий	Балл
1.1	Найдена начальная скорость 13 м/с	1
2.1	Использовано уравнение скорости при равноускоренном движении	0,5
2.2	Модуль скорости выражен через проекции	1
2.3	В рассуждениях использована точка пересечения графиков	0,5
2.4	Найдено отношение проекций ускорения $n$ *	1
2.5	Получено выражение связывающее $t_0$ с проекциями скоростей и ускорений	2
2.6	Найдена $a_1$ = −0.4 м/с $^2$	0,5
2.7	Найдена $a_2$ = 0.3 м/с $^2$	0,5
2.8	Найдено ускорение $a$ = 0.5 м/с $^2$	0,5
3.1	Любая корректная идея нахождения угла между векторами	1
3.2	Реализация метода (формула)	1
3.3	Реализация метода (число) 120º **	0,5

Примечание для жюри

Полностью правильное решение, полученное неавторским методом, оценивается полным баллом. Недопустимо снижать оценку за «неправильное» оформление или неаккуратные записи.

Оригинал в Архива: VsOSh_2026_MUN_T.pdf