ВсОШ 2026, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10-1. 10 класс · Задача 1 · Пружина на весах

Задача №10-E1. Пружина на весах

Запишем номер установки, указанный на пружине.

При помощи малярного скотча закрепим деревянную линейку 40 см к одному из брусочков, так чтобы расположив брусочек на боковой стороне, линейка оказалась в вертикальном положении. При помощи малярного скотча закрепим деревянную линейку 20 см ко второму брусочку, так чтобы положив брусочек одной из больших граней на стол линейка оказалась параллельна столу. Нижний виток пружины поместим на весы, а верхний виток пружины зацепим линейкой 20 см и, прижимая второй брусок к первому, начнем аккуратно поднимать второй брусок по поверхности первого. В ходе измерений пружина не должна соскальзывать с измеряемой области весов. Полученные данные представим в виде таблицы.

Пусть $m$ — масса одного витка, $k$ — коэффициент жёсткости одного витка. Изменение высоты верхнего витка $\Delta x_1=mg(n-1/2)/k$, где $n$ — количество витков с ненулевой деформацией. Изменение высоты $i$-го сверху витка $\Delta x_i=mg(n-i)/k$. Суммарное изменение длины пружины равно

Изменение показаний весов и веса пружины: $\lvert\Delta m\rvert=\lvert\Delta P\rvert/g=mn$ и $\lvert\Delta P\rvert=mgn$. Тогда

Построим график $(\Delta P)^2(\Delta x)$ или $\lvert\Delta P\rvert(\sqrt{\Delta x})$ для проверки соответствия теории и эксперимента.

Графики получились линейными, значит эксперимент подтверждает теорию.

Массу одного витка пружины можно вычислить $m=M/n$, где $M=20,37$ г — масса всей пружины, а $n=37$ — число витков.

Из углового коэффициента графика, построенного в пункте 3, выразим жёсткость одного витка: $k=\beta_1/2mg$ или $k=(\beta_2)^2/2mg$, где $\beta_1=(\Delta P)^2/\Delta x$, $\beta_2=\lvert\Delta P\rvert/\sqrt{\Delta x}$.

Произведем оценку погрешности: $k=k\left(\dfrac{\Delta\beta_1}{\beta_1}+\dfrac{\Delta m}{m}\right)$ или $k=k\left(2\dfrac{\Delta\beta_2}{\beta_2}+\dfrac{\Delta m}{m}\right)$.

При расчетах получаем: $k=(34,2\pm1,8)$ Н/м.

При помощи малярного скотча закрепим один виток пружины к концу деревянной линейки 40 см. Поместим пружину боковой стороной на стол, так чтобы линейка находилась в вертикальной плоскости, а свободный край линейки лежал на весах. Расположим бруски по обе стороны от линейки на расстоянии 2-3 мм. Обнулим показания весов и начнем аккуратно скручивать свободный конец пружины относительно закрепленного на линейке. Создаваемый пружиной момент сил будет компенсироваться моментом силы реакции весов: $M=mgl$, где $m=2,51$ г — показания весов, а $l=41$ см — длина линейки.

Момент сил, создаваемый пружиной при повороте одного её конца относительно другого на один оборот: $M=1,0\cdot10^{-2}$ Н·м.

Поскольку в данном опыте производится оценка измеряемой величины, то погрешность не вычисляется.