Съдържание

ВсОШ 2026, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 9-3. Тянем-потянем

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап, теоретический тур — Москва,2026

Внимание: Бележка към темата

Полный73страничный оригинал лично прочитан.23целые задачи разных классов,57номерованных частей и3единых ненумерованных запроса; все доступные методы решения и исходные фигуры сохранены. Ошибки печатного ключа и отсутствующие отдельные сдаваемые листы честно обозначены. Ключ атрибутирован архиву.

Министерство просвещения Российской Федерации — Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по физике. Теоретический тур. Москва2026.

Авторы задач — Экспериментальный тур

7-T1 — Александр Евсеев
7-T2 — Никита Богословский
7-T3 — Александр Евсеев
7-T4 — Антон Сорокин
8-T1 — Александр Евсеев, Сергей Абдрашитов
8-T2 — Олег Порошин
8-T3 — Ольга Инишева
8-T4 — Денис Рубцов
9-T1 — Александр Ершов
9-T2 — Денис Рубцов
9-T3 — Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4 — Александр Аполонский, Антон Вергунов
9-T5 — Денис Рубцов, Александр Ершов
10-T1 — Григорий Расторгуев, Иван Гурьянов
10-T2 — Александр Аполонский, Александр Киреев
10-T3 — Николай Янушкевич
10-T4 — Александр Аполонский, Иван Юдин
10-T5 — Алексей Заяц
11-T1 — Иван Гурьянов
11-T2 — Николай Янушкевич
11-T3 — Денис Рубцов
11-T4 — Григорий Расторгуев
11-T5 — Александр Воронцов

Примечание читателя: заголовок «Экспериментальный тур» переписан буквально со страницы авторов; обложка, колонтитулы и обозначения T определяют этот пакет как теоретический. Отдельный экспериментальный оригинал Ru26-R-E.pdf к этому источнику не относится.

Подготовка к олимпиадам — исходные ссылки

Физтех-регионам МФТИ предлагает лекции, семинары и тематические задачи для всех классов в открытом бесплатном доступе: os.mipt.ru.

Видеорешения задач регионального этапа: os-lms.mipt.ru.

Исходный QR-код ведет на указанную в оригинале страницу.

Условие

Гладкий тонкий стержень согнут под прямым углом и зафиксирован в горизонтальной плоскости. По одной его стороне может перемещаться небольшая втулка массой $m$ , по другой — лёгкое маленькое колечко. К вершине прямого угла прикреплён один конец невесомой нерастяжимой нити длиной $l$ . Нить продета через кольцо, и другой конец нити привязан к втулке. $\alpha$ — это угол между направлением от кольца к вершине прямого угла и направлением от кольца к втулке (см. рисунок). Колечко перемещают из вершины прямого угла с постоянной скоростью $v$ . Трение отсутствует. В процессе всего движения нить натянута.

Согнутый стержень, втулка m, кольцо, полная нить, угол alpha, скорость v и сила F

1 Определите скорость движения втулки в начальный момент времени, когда колечко движется вблизи вершины прямого угла.

2 Как зависит скорость движения втулки от угла $\alpha$ ?

3 Чтобы колечко двигалось с постоянной скоростью $v$ , к нему прикладывают силу $F$ , направленную вдоль стержня. Как зависит сила $F$ от угла $\alpha$ ?

Решение

За небольшое время $\Delta t$ колечко пройдет расстояние $v\Delta t$ , оставив позади себя кусочек нити длиной $v\Delta t$ . Такой же по длине кусочек нити должен освободиться из-за приближения втулки к колечку. Значит, $u(0)\Delta t=v\Delta t$ , и:

u(0)=v.

Ответ на второй вопрос можно получить разными способами.

Способ1. Перейдем в систему отсчета, связанную с колечком. В этой СО колечко неподвижно, а у втулки появляется составляющая скорости, перпендикулярная стержню (см. рисунок). При этом относительно точки $C$ , выбранной вблизи колечка, втулка движется по окружности. Проекции скоростей втулки и точки $C$ на направление участка нити между втулкой и кольцом должны компенсировать друг друга так, чтобы длина этого участка оставалась постоянной. Точка $C$ движется со скоростью $v$ , поэтому:

v=u\sin\alpha-v\cos\alpha.

Исходный рисунок в системе колечка: точка C, втулка m, направления u и v и угол alpha

Способ2. Пусть расстояния от вершины прямого угла до колечка и до втулки равны соответственно $x$ и $y$ . Тогда запишем полную длину нити следующим образом:

x+\sqrt{x^2+y^2}=l.

Возьмём производную по времени:

\dot x+\frac{x\dot x+y\dot y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\dot l=0;

\dot y=-\frac{\dot x}y\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right);

u=\frac vy\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right).

u=v\left(\frac1{\sin\alpha}+\frac1{\operatorname{tg}\alpha}\right)=v\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}.

Способ3. Рассмотрим маленький промежуток времени $\Delta t$ . Колечко прошло расстояние $v\Delta t$ , а втулка $u\Delta t$ . Проецируя эти перемещения на отрезок, соединяющий колечко с ниткой, получим маленькое изменение длины куска нити между ними:

\Delta R=v\Delta t\cos\alpha-u\Delta t\sin\alpha.

Кусок нити между вершиной прямого угла и колечком увеличился на $v\Delta t$ . Так как полная длина нити не меняется:

(v\cos\alpha-u\sin\alpha+v)\Delta t=0.

Откуда:

u=v\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}.

Ответ на третий вопрос можно получить разными способами.

Способ1. Скорость втулки при её движении по окружности относительно точки $C$ равна:

v\sin\alpha+u\cos\alpha=v\frac{\sin^2\alpha+\cos\alpha(1+\cos\alpha)}{\sin\alpha}=v\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}.

Нормальная компонента ускорения:

a_n=\frac{v^2(1+\cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha\cdot R},

где $R=l/(1+\cos\alpha)$ — длина участка нити между втулкой и точкой $C$ . Полное ускорение втулки $a$ направлено вдоль стержня, а $a_n$ является его проекцией на нить. Поэтому

a=\frac{a_n}{\sin\alpha}=\frac{v^2(1+\cos\alpha)^3}{\sin^3\alpha\cdot l}.

Способ2. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте связью $u$ и $v$ :

u=\frac vy\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right)=v\frac ly.

Возьмём производную по времени от этого выражения:

a=-vl\frac{\dot y}{y^2}=\frac{v^2l^2}{y^3}.

Так как нить нерастяжима:

l=\frac y{\sin\alpha}+\frac y{\operatorname{tg}\alpha}\Rightarrow y=\frac{l\sin\alpha}{1+\cos\alpha}.

Тогда:

a=\frac{v^2(1+\cos\alpha)^3}{\sin^3\alpha\cdot l}.

Далее $ma=T\sin\alpha$ , откуда

T=\frac{mv^2(1+\cos\alpha)^3}{\sin^4\alpha\cdot l}.

Сила $F$ , прикладываемая к колечку, равна сумме проекций двух сил натяжения на стержень:

F=T+T\cos\alpha=\frac{mv^2(1+\cos\alpha)^4}{l\sin^4\alpha}.

Примечание читателя: полный исходный пакет и отдельные листы

Лично прочитаны все73страницы: обложка и авторы1–2, условия3–21, все доступные возможные решения22–73. Сохранены23целые задачи пяти классов и57печатных номерованных запросов; еще три задачи имеют единый ненумерованный запрос. Каждый класс и каждое самостоятельное исходное задание сохранены отдельно. Ключ11-T2 сам ссылается на10-T3, полное указанное решение присутствует в этом же оригинале и приведено у обеих задач. Архивная атрибуция ключа сохранена; отдельная официальная публикация этого PDF организатором не установлена.

Условие термистора требует сдаваемого отдельного листа с двумя экземплярами графика, а условие цилиндра — отдельной масштабной фотографии для построений. Данный полный пакет содержит один график на странице17, фотографию21 и фотографию с построениями72, но не включает отдельные сдаваемые листы. В полученном полном текущем каталоге папки только теоретический и отдельно принадлежащий экспериментальный PDF. Необретенные отдельные листы не изготовлены и не объявлены полученными. Все имеющиеся изображения сохранены без перерисовки. Печатные ошибки и незавершенная фраза ключа отдельно обозначены в соответствующих решениях.

Оригинал в Архива: Ru26-R-T.pdf · решение от архива: Ru26-R-T.pdf