Съдържание

ВсОШ 2026, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 9-4. Нагрев жидкости

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап, теоретический тур — Москва,2026

Внимание: Бележка към темата

Полный73страничный оригинал лично прочитан.23целые задачи разных классов,57номерованных частей и3единых ненумерованных запроса; все доступные методы решения и исходные фигуры сохранены. Ошибки печатного ключа и отсутствующие отдельные сдаваемые листы честно обозначены. Ключ атрибутирован архиву.

Министерство просвещения Российской Федерации — Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по физике. Теоретический тур. Москва2026.

Авторы задач — Экспериментальный тур

7-T1 — Александр Евсеев
7-T2 — Никита Богословский
7-T3 — Александр Евсеев
7-T4 — Антон Сорокин
8-T1 — Александр Евсеев, Сергей Абдрашитов
8-T2 — Олег Порошин
8-T3 — Ольга Инишева
8-T4 — Денис Рубцов
9-T1 — Александр Ершов
9-T2 — Денис Рубцов
9-T3 — Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4 — Александр Аполонский, Антон Вергунов
9-T5 — Денис Рубцов, Александр Ершов
10-T1 — Григорий Расторгуев, Иван Гурьянов
10-T2 — Александр Аполонский, Александр Киреев
10-T3 — Николай Янушкевич
10-T4 — Александр Аполонский, Иван Юдин
10-T5 — Алексей Заяц
11-T1 — Иван Гурьянов
11-T2 — Николай Янушкевич
11-T3 — Денис Рубцов
11-T4 — Григорий Расторгуев
11-T5 — Александр Воронцов

Примечание читателя: заголовок «Экспериментальный тур» переписан буквально со страницы авторов; обложка, колонтитулы и обозначения T определяют этот пакет как теоретический. Отдельный экспериментальный оригинал Ru26-R-E.pdf к этому источнику не относится.

Подготовка к олимпиадам — исходные ссылки

Физтех-регионам МФТИ предлагает лекции, семинары и тематические задачи для всех классов в открытом бесплатном доступе: os.mipt.ru.

Видеорешения задач регионального этапа: os-lms.mipt.ru.

Исходный QR-код ведет на указанную в оригинале страницу.

Условие

Два вертикальных цилиндрических сосуда соединены внизу тонкой трубкой, обеспечивающей свободное перетекание жидкости. Площади поперечных сечений сосудов равны $4S$ и $S$ (см. рисунок). Сосуд большего сечения имеет высоту $H$ и сверху герметично закрыт горизонтальной жёсткой крышкой, сосуд меньшего сечения значительно выше и открыт сверху. Снаружи вакуум. Сосуды заполняют экспериментальной жидкостью до высоты $h=0{,}95H$ при температуре $t_0$ . Известно, что при изменении температуры этой жидкости в интервале от $t_0$ до $2t_0$ , её плотность линейно уменьшается с температурой от значения $\rho_0$ до значения $0{,}5\rho_0$ . Температуру жидкости в сосуде большего сечения медленно повышают от $t_0$ до $2t_0$ . После нагрева и установления равновесия в системе найдите:

Сообщающиеся цилиндры: герметичная крышка, высоты h и H, сечения 4S и S и направление g

Давлением насыщенных паров жидкости, теплоёмкостью сосудов, а также теплообменом с окружающей средой и через трубку, соединяющую сосуды, пренебречь. Ускорение свободного падения равно $g$ . Удельную теплоёмкость жидкости считайте постоянной.

1 давление жидкости на дне сосудов;

2 давление жидкости на крышку в сосуде большего сечения;

3 температуру жидкости в сосуде меньшего сечения.

Решение

Зависимость плотности от температуры:

\rho(t)=\rho_0-\frac{\rho_0}2\cdot\frac{t-t_0}{t_0}=\rho_0\frac{3t_0-t}{2t_0}.\qquad (1)

Начальная масса $m_{L0}$ жидкости в левом сосуде:

m_{L0}=4Sh\rho_0=4SH\rho.

Следовательно сосуд большего сечения заполнится доверху, когда плотность в нём уменьшится до $\rho=0{,}95\rho_0$ . Из(1) получаем:

\rho=0{,}95\rho_0\Rightarrow3t_0-t_1=1{,}9t_0\Rightarrow t_1=1{,}1t_0.

После этого жидкость начинает перетекать из левого (широкого) сосуда в правый. При достижении температуры $t=2t_0$ масса $m_L$ жидкости в левом сосуде равна:

m_L=4SH\cdot\frac{\rho_0}2=2\rho_0SH.

Полная масса $m$ жидкости изначально:

m=(4S+S)h\rho_0=5S\cdot0{,}95H\rho_0=4{,}75\rho_0SH.

Следовательно, масса $m_R$ жидкости в правом сосуде после нагрева:

m_R=m-m_L=2{,}75\rho_0SH.

Тогда давление на дне:

p_{\text{дно}}=\frac{m_Rg}S=2{,}75\rho_0gH.

Давление $p_{\text{к}}$ жидкости на крышку в сосуде большего сечения найдём из равенства давлений:

p_{\text{к}}=p_{\text{дно}}-0{,}5\rho_0gH=2{,}25\rho_0gH.

Поскольку объём левого сосуда фиксирован (при достижении высоты $H$ ), уменьшение массы в нём прямо пропорционально уменьшению плотности при нагреве. При нагреве левого сосуда на малую величину $\Delta t$ плотность уменьшается на $\Delta\rho$ , и в правый сосуд перетекает масса:

\Delta m=4SH\Delta\rho,\qquad (2)

температура которой равна текущей температуре $t$ в левом сосуде.

Способ1. Можно считать, что нагреватель сообщил количество теплоты массе $\Delta m$ уже после того, как она переместилась в правый сосуд. Тогда количество теплоты, поступающее в правый сосуд:

\Delta Q=c\Delta m(t-t_0)=4cSH(t-t_0)\Delta\rho,

где $c$ — теплоёмкость жидкости.

Рисунок1: исходный график плотности и полоска тепла, все температуры, плотности и подписи delta-rho и t−t0

Если воспользоваться графиком зависимости $\rho(t)$ , то можно заметить, что величине $\Delta Q$ пропорциональна площадь полоски шириной $\Delta\rho$ и длиной $t-t_0$ (см. рисунок1), домноженной на $4cSH$ .

Полное количество «перенесённой» в правый сосуд теплоты $Q$ пропорционально площади трапеции, показанной на рисунке2, с домножением на $4cSH$ . Тогда:

Q=0{,}99\rho_0t_0cSH.

Эта теплота, распределённая по массе $m_R=2{,}75\rho_0SH$ , повысит температуру правого сосуда:

t_R=t_0+\frac{Q}{cm_R}=t_0+\frac{0{,}99\rho_0t_0cSH}{c\cdot2{,}75\rho_0SH}.

Рисунок2: исходная тепловая трапеция с точкой1.1t0,0.95rho0, полными осями и подписью

Способ2. Из(1) и(2) получим, что при повышении температуры левого сосуда от $t_1=1{,}1t_0$ до $t_2=2t_0$ масса, перетекающая в правый сосуд, увеличивается равномерно с температурой:

\Delta m=\frac{2SH}{t_0}\cdot\Delta t.

Следовательно, распределение масс по температуре равномерное, и средняя температура приходящих порций жидкости равна среднему арифметическому концов интервала:

t_{\text{ср}}=\frac{t_1+t_2}2=\frac{1{,}1t_0+2t_0}2=1{,}55t_0.

Уравнение теплового баланса для правого сосуда:

m_{R0}c(t_R-t_0)+\Delta mc(t_R-t_{\text{ср}})=0,

где $m_{R0}$ — начальная масса жидкости в правом сосуде. Отсюда:

t_R=\frac{m_{R0}t_0+\Delta m\,t_{\text{ср}}}{m_{R0}+\Delta m}.

Способ3. Малая масса, перетекающая при возрастании температуры на $dt$ :

dm=-4SH\,d\rho.

Из(1):

\frac{d\rho}{dt}=-\frac{\rho_0}{2t_0}\Rightarrow dm=\frac{2\rho_0SH}{t_0}\,dt.

Количество теплоты, переносимое этой массой:

dQ=c(t-t_0)\,dm=c(t-t_0)\frac{2\rho_0SH}{t_0}\,dt.

Интегрируем от $t_1=1{,}1t_0$ до $2t_0$ :

Q=\frac{2\rho_0SHc}{t_0}\int_{1{,}1t_0}^{2t_0}(t-t_0)\,dt =\frac{2\rho_0SHc}{t_0}\left[\frac{(t-t_0)^2}2\right]_{1{,}1t_0}^{2t_0}.

Подставляем пределы:

Q=\frac{2\rho_0SHc}{t_0}\cdot\frac{t_0^2-0{,}01t_0^2}2=0{,}99\rho_0ct_0SH.

Далее, как и в первом способе:

t_R=t_0+\frac{Q}{cm_R}.

Окончательно:

t_R=1{,}36t_0.

Примечание читателя: в способе2 на странице44 формула $\Delta m=2SH\Delta t/t_0$ напечатана без множителя $\rho_0$ . Сохранена буквальная формула; в способе3 оригинал уже содержит $\rho_0$ .

Примечание читателя: полный исходный пакет и отдельные листы

Лично прочитаны все73страницы: обложка и авторы1–2, условия3–21, все доступные возможные решения22–73. Сохранены23целые задачи пяти классов и57печатных номерованных запросов; еще три задачи имеют единый ненумерованный запрос. Каждый класс и каждое самостоятельное исходное задание сохранены отдельно. Ключ11-T2 сам ссылается на10-T3, полное указанное решение присутствует в этом же оригинале и приведено у обеих задач. Архивная атрибуция ключа сохранена; отдельная официальная публикация этого PDF организатором не установлена.

Условие термистора требует сдаваемого отдельного листа с двумя экземплярами графика, а условие цилиндра — отдельной масштабной фотографии для построений. Данный полный пакет содержит один график на странице17, фотографию21 и фотографию с построениями72, но не включает отдельные сдаваемые листы. В полученном полном текущем каталоге папки только теоретический и отдельно принадлежащий экспериментальный PDF. Необретенные отдельные листы не изготовлены и не объявлены полученными. Все имеющиеся изображения сохранены без перерисовки. Печатные ошибки и незавершенная фраза ключа отдельно обозначены в соответствующих решениях.

Оригинал в Архива: Ru26-R-T.pdf · решение от архива: Ru26-R-T.pdf