ВсОШ 2026, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 8-1. Из города в деревню

Воспользуемся тем, что средняя скорость движения $v_{\text{ср}}$ на всем пути равна скорости движения на отрезке между звонками Глюка. Весь путь можно определить, как $S_1+S_2-s$, а условие равенства средних скоростей можно будет записать так:

Откуда находим, что $s=150\text{ км}$.

Средняя скорость

Также теперь легко определить, что весь путь из города в деревню составил $L=600\text{ км}$.

Ответы на второй вопрос задачи можно получить аналитически и графически.

Аналитическое решение. Рассмотрим все три возможных варианта:

1. Первый звонок был совершён на первом участке, второй — на втором.
2. Первый звонок был совершён на первом участке, второй — на третьем.
3. Первый звонок был совершён на втором участке, второй — на третьем.

При реализации первых двух вариантов первых звонок должен быть совершён на расстоянии $L-S_1=350\text{ км}$ от города. Однако, при этом скорость на первом участке составит $\tilde v_1=(L-S_1)/t_1\approx54\text{ км/ч}\ne v_1$, что противоречит ранее найденному $v_1$. Тогда возможен только третий вариант, при котором первый звонок был совершён на втором участке пути, а второй — на третьем. Тогда скорость Бага на третьем участке: $v_3=(L-S_2)/(t-t_2)=100\text{ км/ч}$. Скорость на втором участке не может быть в2 раза больше $v_3$, ведь тогда средняя скорость на всем пути точно будет превосходить $60\text{ км/ч}$. Значит $v_2$ в два раза меньше $v_3$ и $v_2=50\text{ км/ч}$. Или альтернативно, поскольку средняя скорость движения Бага до первого звонка меньше средней скорости на всём пути, то скорость на втором участке должна быть меньше средней скорости. Тогда скорость на третьем участке вдвое превосходит скорость на втором участке: $v_3=2v_2$. В противном случае, средняя скорость на всём пути точно будет меньше $60\text{ км/ч}$.

Графическое решение. Построим график (см. рис.1) зависимости пути, который проехал автомобиль, от времени. В момент времени $t=10\text{ ч}$ автомобиль проехал $L=600\text{ км}$. Обозначим точку3, соответствующую этому состоянию. Проведем прямую из начала координат в точку3. Эта прямая соответствует движению со средней скоростью. И, очевидно, ее часть совпадает с графиком на первом участке. В момент времени $t_1=6{,}5\text{ ч}$ автомобиль проехал $L-S_1=350\text{ км}$. Обозначим точку4, соответствующую этому состоянию. В момент времени $t_2=9\text{ ч}$ автомобиль проехал $L-S_2=500\text{ км}$. Обозначим точку5, соответствующую этому состоянию. График третьего участка — это часть прямой, проходящей через точки3 и5. Проведем ее. По наклону прямой можно определить скорость на третьем участке — $v_3=150/1{,}5=100\text{ км/ч}$. Заметим, что $v_3$ больше средней скорости, тогда скорость автомобиля на втором участке $v_2=v_3/2=50\text{ км/ч}$. Поскольку в обратном случае, если $v_2=2v_3=200\text{ км/ч}$, средняя скорость на всём пути будет превышать $v_{\text{ср}}=60\text{ км/ч}$, что противоречит условию.

Ответы на третий вопрос задачи можно получить аналитически и графически.

Аналитическое решение. Пусть $T_1$ — время движения Бага на первом участке. С учётом того, что расстояние $L-S_1=350\text{ км}$ Баг проехал, двигаясь в течение времени $T_1$ со скоростью $v_1$ и времени $t-T_1$ со скоростью $v_2$, запишем:

Откуда получим, что

При этом протяженность первого участка составит $l_1=v_1T_1=150\text{ км}$. Пусть $T_2$ — время движения Бага на втором участке, тогда $t-T_1-T_2$ — время движения Бага на третьем участке. Для всего пути можно записать:

Откуда получим

При этом протяженность второго участка составит $l_2=v_2T_2=300\text{ км}$. Тогда протяженность третьего участка составит $l_3=L-l_1-l_2=150\text{ км}$.

Графическое решение. График второго участка — это часть прямой, проходящей через точку4. Наклон этой прямой соответствует скорости $v_2$. Эта прямая пересекается с прямой, проведённой через точки3 и5, в точке2, соответствующей границе второго и третьего участков пути. Прямая, проведённая через начало отсчёта и точку3, пересекается с прямой, проведённой через точки2 и4, в точке1, соответствующей границе первого и второго участка. Прямая3–5 описывается уравнением $S=-400+100\cdot t$, прямая4–2 описывается уравнением $S=25+50\cdot t$. Решая эту пару уравнений совместно, получим координаты точки2: $(8{,}5\text{ ч};450\text{ км})$. Прямая0–3 описывается уравнением $S=60\cdot t$, прямая4–2 описывается уравнением $S=25+50\cdot t$. Решая эту пару уравнений совместно, получим координаты точки1: $(2{,}5\text{ ч};150\text{ км})$. Откуда получим, что Баг ехал первые $2{,}5\text{ ч}$ со скоростью $60\text{ км/ч}$, затем $6\text{ ч}$ со скоростью $50\text{ км/ч}$, и в конце — $1{,}5\text{ ч}$ со скоростью $100\text{ км/ч}$. Откуда $l_1=150\text{ км}$ (участок1–2 на рис.1), $l_2=300\text{ км}$ (участок2–3 на рис.1), $l_3=150\text{ км}$ (участок2–3 на рис.1).

Примечание читателя: сохранены печатные расхождения ключа: в графическом рассуждении $L-S_2$ названо $500\text{ км}$, хотя в условии $S_2$ уже означает пройденные $500\text{ км}$; перед формулой для $T_1$ в прозе стоит $t-T_1$, в формуле — $t_1-T_1$; заключительные ссылки на участки1–2 и дважды2–3 оставлены как напечатано.