Съдържание

ВсОШ 2026, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 8-3. Стол и ваза

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2026

Всероссийская олимпиада школьников по физике — Региональный этап, теоретический тур — Москва,2026

Внимание: Бележка към темата

Полный73страничный оригинал лично прочитан.23целые задачи разных классов,57номерованных частей и3единых ненумерованных запроса; все доступные методы решения и исходные фигуры сохранены. Ошибки печатного ключа и отсутствующие отдельные сдаваемые листы честно обозначены. Ключ атрибутирован архиву.

Министерство просвещения Российской Федерации — Центральная предметно-методическая комиссия Всероссийской олимпиады школьников по физике

Региональный этап Всероссийской олимпиады школьников по физике. Теоретический тур. Москва2026.

Авторы задач — Экспериментальный тур

7-T1 — Александр Евсеев
7-T2 — Никита Богословский
7-T3 — Александр Евсеев
7-T4 — Антон Сорокин
8-T1 — Александр Евсеев, Сергей Абдрашитов
8-T2 — Олег Порошин
8-T3 — Ольга Инишева
8-T4 — Денис Рубцов
9-T1 — Александр Ершов
9-T2 — Денис Рубцов
9-T3 — Александр Аполонский, Александр Ершов
9-T4 — Александр Аполонский, Антон Вергунов
9-T5 — Денис Рубцов, Александр Ершов
10-T1 — Григорий Расторгуев, Иван Гурьянов
10-T2 — Александр Аполонский, Александр Киреев
10-T3 — Николай Янушкевич
10-T4 — Александр Аполонский, Иван Юдин
10-T5 — Алексей Заяц
11-T1 — Иван Гурьянов
11-T2 — Николай Янушкевич
11-T3 — Денис Рубцов
11-T4 — Григорий Расторгуев
11-T5 — Александр Воронцов

Примечание читателя: заголовок «Экспериментальный тур» переписан буквально со страницы авторов; обложка, колонтитулы и обозначения T определяют этот пакет как теоретический. Отдельный экспериментальный оригинал Ru26-R-E.pdf к этому источнику не относится.

Подготовка к олимпиадам — исходные ссылки

Физтех-регионам МФТИ предлагает лекции, семинары и тематические задачи для всех классов в открытом бесплатном доступе: os.mipt.ru.

Видеорешения задач регионального этапа: os-lms.mipt.ru.

Исходный QR-код ведет на указанную в оригинале страницу.

Условие

В гостиной стоит журнальный столик (на рисунках представлен вид стола сбоку (левый рисунок) и сверху (правый рисунок)), столешница которого представляет собой однородный диск радиуса $2a$ . Масса столешницы $M$ . Четыре одинаковые вертикальные ножки, масса которых пренебрежимо мала по сравнению с массой столешницы, крепятся к столешнице в вершинах квадрата со стороной $2a$ . Центр квадрата, в вершинах которого крепятся ножки, совпадает с центром столешницы. Восьмиклассник случайно сломал одну ножку у журнального столика, ему удалось приделать её обратно, но при любой нагрузке на неё, она снова отламывается от столешницы. Пришедшая домой мама принесла большой букет и попросила его поставить вазу с букетом на этот стол. Масса вазы с букетом равна $m=5M$ .

Журнальный столик: исходные боковой вид и вид сверху, четыре ножки, радиус 2a и квадрат со стороной 2a

1 Существуют ли точки на столешнице, в которых можно разместить центр основания вазы с букетом так, чтобы столешница была горизонтальна?

2 Если да, то укажите, все возможные их положения.

Решение

Разместим вазу на столе и расставим силы, действующие на систему «столешница + ваза». Сила тяжести столешницы $Mg$ приложена к центру столешницы, сила тяжести вазы $mg$ приложена в точке расположения вазы. Эти силы направлены вертикально вниз. Три силы реакции ножек $N_1$ , $N_2$ и $N_3$ направлены вертикально вверх. Сила реакции четвертой ножки должна быть равна нулю.

Способ1.

Рисунок3: исходные оси XOY, реакции трех ножек, силы тяжести, радиус столешницы и координаты вазы — Рис. 3

Сделаем рисунок столешницы с видом сверху и введем систему координат $XOY$ , начало координат поместим в центр столешницы (см. рис.3). Координаты точки, в которой находится ваза, обозначим $x$ и $y$ . На рисунке силы реакции ножек направлены перпендикулярно плоскости чертежа, на читателя, и обозначены черными кружками, а силы тяжести направлены перпендикулярно плоскости чертежа, от читателя и обозначены крестиками.

Запишем условие равновесия системы:

(M+m)g=N_1+N_2+N_3,\qquad (1)

правило моментов для оси $OX$ :

N_1a=mgy+N_2a+N_3a,\qquad (2)

и правило моментов для оси $OY$ :

N_3a=mgx+N_1a+N_2a.\qquad (3)

Подставим(2) в(3) и найдем $N_2$ :

N_2=-\frac{mg}{2a}(x+y).

Чтобы столешница не переворачивалась, должно выполняться условие $N_2\ge0$ , а для этого должно выполняться условие $y+x\le0$ или

y\le-x.\qquad (4)

Из уравнения(3) выразим $N_3$ :

N_3=mg\frac xa+N_1+N_2.

Подставим $N_3$ и $N_2$ в(1) и определим $N_1$ :

N_1=\frac{M+m}2g+\frac{mg}{2a}y.

Чтобы столешница не переворачивалась, должно выполняться условие $N_1\ge0$ , следовательно, должно выполняться

\frac{M+m}2g+\frac{mg}{2a}y\ge0.

Для выполнения этого условия нужно, чтобы выполнялось неравенство

y\ge-\left(1+\frac Mm\right)a.\qquad (5)

Определим $N_3$

N_3=\frac{M+m}2g+\frac{mg}{2a}x.

Чтобы столешница не переворачивалась, должно выполняться условие $N_3\ge0$ , следовательно, должно выполняться

\frac{M+m}2g+\frac{mg}{2a}x\ge0.

Для выполнения этого условия нужно, чтобы выполнялось неравенство

x\ge-\left(1+\frac Mm\right)a.\qquad (6)

Подставим $m=5M$ и запишем все полученные условия и изобразим на поверхности столешницы область, в которой одновременно выполняются все три неравенства

y\le-x;\qquad (7)

y\ge-\left(1+\frac Mm\right)a=-\frac65a;\qquad (8)

x\ge-\left(1+\frac Mm\right)a=-\frac65a.\qquad (9)

Способ2.

Рисунок4: исходная система X′O′Y′ с началом у второй ножки, все силы, координаты и размеры

Сделаем рисунок столешницы с видом сверху и введем систему координат $X'O'Y'$ , начало координат поместим в точку, где находится вторая ножка (см. рис.4). Координаты точки, в которой находится ваза, обозначим $x'$ и $y'$ .

Запишем условие равновесия системы

(M+m)g=N_1+N_2+N_3,\qquad (1')

правило моментов для оси $O'X'$

N_1\cdot2a=mgy'+Mga,\qquad (2')

и правило моментов для оси $O'Y'$

N_3\cdot2a=mgx'+Mga.\qquad (3')

Из уравнения(2′) определим силу реакции первой ножки

N_1=\frac{Mg}2+\frac{mg}{2a}y'.

Чтобы столешница не переворачивалась, необходимо, чтобы выполнялось условие $N_1\ge0$ , откуда получаем область допустимых значений для $y'$

y'\ge-\frac Mm a;\qquad y'\ge-\frac a5.\qquad (4')

Из уравнения(3′) определим силу реакции Чтобы столешница не переворачивалась, необходимо, чтобы выполнялось условие $N_3\ge0$ , откуда получаем область допустимых значений для $x'$

x'\ge-\frac Mm a;\qquad x'\ge-\frac a5.\qquad (5')

Из уравнения(1) определим силу реакции второй ножки

N_2=Mg+mg-N_1-N_3=mg\left(1-\frac{x'}{2a}-\frac{y'}{2a}\right).

Условие неотрицательности силы реакции второй ножки даёт неравенство

y'\le2a-x'.\qquad (6')

Геометрическое место точек, которые удовлетворяют неравенствам(4′),(5′) и(6′) находится в той же области на поверхности стола, что найдена в первом варианте.

Область, где возможно размещение вазы, ограничена тремя прямыми, и выделена на рисунке тёмно-серым цветом.

Полная исходная допустимая область на столешнице, три граничные прямые, оси и номера ножек

Примечание читателя: на странице33 фраза «Из уравнения(3′) определим силу реакции Чтобы...» напечатана без продолжения и без отдельной формулы силы реакции. Сохранен этот исходный пробел; формула не дописана от себя.

Примечание читателя: полный исходный пакет и отдельные листы

Лично прочитаны все73страницы: обложка и авторы1–2, условия3–21, все доступные возможные решения22–73. Сохранены23целые задачи пяти классов и57печатных номерованных запросов; еще три задачи имеют единый ненумерованный запрос. Каждый класс и каждое самостоятельное исходное задание сохранены отдельно. Ключ11-T2 сам ссылается на10-T3, полное указанное решение присутствует в этом же оригинале и приведено у обеих задач. Архивная атрибуция ключа сохранена; отдельная официальная публикация этого PDF организатором не установлена.

Условие термистора требует сдаваемого отдельного листа с двумя экземплярами графика, а условие цилиндра — отдельной масштабной фотографии для построений. Данный полный пакет содержит один график на странице17, фотографию21 и фотографию с построениями72, но не включает отдельные сдаваемые листы. В полученном полном текущем каталоге папки только теоретический и отдельно принадлежащий экспериментальный PDF. Необретенные отдельные листы не изготовлены и не объявлены полученными. Все имеющиеся изображения сохранены без перерисовки. Печатные ошибки и незавершенная фраза ключа отдельно обозначены в соответствующих решениях.

Оригинал в Архива: Ru26-R-T.pdf · решение от архива: Ru26-R-T.pdf