ВсОШ 2026, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 8-4. Потерянный график

Запишем уравнение теплового баланса с учётом подведенного от плиты количества теплоты для первого участка графика:

Следовательно, на первом участке зависимость температуры $t$ от времени $\tau$ описывается уравнением прямой:

Способ1.

На третьем участке уравнение теплового баланса:

Здесь $V_{\text{дол}}$ — объём долитой воды.

Способ2.

Рассмотрим тепловые процессы, происходящие на трёх участках по отдельности. Введем обозначения: $\tau_1$ — момент времени, когда начинается долив жидкости, $\tau_2$ — момент времени, когда температура жидкости после доливания начинает увеличиваться. Для первого участка имеем уравнение(1), оно записано выше.

В момент времени $\tau_1$ температура воды в чайнике равна $t_1$, поэтому

Для второго участка имеем уравнение (нагревается только долитая вода)

В момент времени $\tau_2$

Для третьего участка

Комбинируя уравнения(5),(7) и(8), получим уравнение(3).

Из уравнения(3) следует, что на третьем участке графика зависимость температуры $t$ от времени $\tau$ описывается уравнением прямой:

Графики функций, описываемых уравнениями(2) и(4), имеют общую точку — $(0;t_0)$. Поэтому, если графики продолжить до пересечения, то точка пересечения графиков будет лежать на оси температуры. Таким образом, можно восстановить масштаб по оси времени — одна клетка соответствует $0{,}5\text{ мин}$. Масштаб по оси температур — одна клетка соответствует $10\,{}^\circ\text{C}$ — восстанавливаем, зная температуры $t_1=60\,{}^\circ\text{C}$ и $t_0=20\,{}^\circ\text{C}$. Зная масштаб по осям и вид прямых восстанавливаем график на рис.2.

Уравнения(2) и(4) описывают линейную зависимость температуры от времени с различными угловыми коэффициентами наклона $k_1$ и $k_3$, отношение которых равно:

По сохранившейся части графика определяем отношение $k_1/k_3=2$.

Следовательно, объём долитой воды совпадает с начальным объёмом, поэтому $V_0=V_{\text{дол}}=0{,}5\text{ л}$.

По графику на рис.2 определяем, что температура воды станет равной $100\,{}^\circ\text{C}$ через $\tau_2=4\text{ мин}$ после начала нагревания. Тот же результат можно получить, если сначала, используя уравнение теплового баланса для второго участка, определить значение мощности, а затем посчитать время нагревания до температуры $100\,{}^\circ\text{C}$ на третьем участке.

По условию задачи при доливании воды в течении $\Delta\tau=1\text{ мин}=60\text{ с}$ температура воды не менялась, поэтому все полученное от нагревателя количество теплоты шло на нагревание добавленной воды от температуры $t_0=20\,{}^\circ\text{C}$ до температуры $t_1=60\,{}^\circ\text{C}$, поэтому:

Из записанного выражения определим мощность

Примечание читателя: ключ повторно использует обозначение $\tau_2$ для времени закипания $4\text{ мин}$, хотя ранее так обозначен конец доливания. Обозначения и нумерация уравнений оригинала сохранены.