Съдържание

ВсОА 1994, Заключителен етап, творчески тур — Задача 8–9.1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 1994

Задачи творческого тура. Ярославль, 16-20 мая · 16 май 1994 г.

Бележка

Задачи разбиты на две группы по классам: 8-9 классы (задачи 1-2) и 10-11 классы (задача 1).

Условие

Обнаружена комета, орбита которой в перигелии и афелии касается орбит Земли и Марса. Что можно сказать об этой комете: орбитальный период, скорость встречи с планетами, устойчива ли орбита, условия наблюдения и т.п.

Решение

Обозначим расстояние кометы от Солнца в перигелии через $R_p = 1$ а.е. (большая полуось орбиты Земли), а в афелии – через $R_a =$ а.е. (большая полуось орбиты Марса). Тогда большая полуось орбиты кометы составит

a = \frac{1{,}0+1{,}5}{2} = 1{,}25\ \text{а.е.}

В соответствии с третьим законом Кеплера, ее орбитальный период

P = a^{3/2} = 1{,}4\ \text{года}.

Эксцентриситет орбиты кометы

e = \frac{R_a - R_p}{R_a + R_p} = 0{,}2.

Поскольку период кометы не находится в простой пропорции с периодами Марса и Земли, комета время от времени должна сближаться с этими планетами и подвергаться их гравитационному влиянию. Значит, ее орбита неустойчива. Найдем скорость сближения кометы с планетами. Для этого используем систему двух уравнений:

$V_p R_p = V_a R_a$ – закон сохранения момента импульса,

$V_p^2 - V_a^2 = 2GM(R_p^{-1} - R_a^{-1})$ – закон сохранения энергии, где $V_a$ и $V_p$ – скорость кометы, соответственно в афелии и перигелии; $M$ – масса Солнца; а $G$ – постоянная тяготения. Из этой системы путем простейших преобразований можно получить очень полезные формулы эллиптического движения:

V_p^2 = C_p^2(1+e),\ \text{где}\ C_p^2 = \frac{GM}{R_p};

V_a^2 = C_a^2(1-e),\ \text{где}\ C_a^2 = \frac{GM}{R_p}.

$C_p$ и $C_a$ – это скорости кругового движения, которые также называют «первыми космическими» или «кеплеровыми» скоростями, соответственно на расстоянии $R_p$ и $R_a$ от Солнца. В нашем случае $C_p = 30$ км/с (орбитальная скорость Земли) и $C_a = 24$ км/с (орбитальная скорость Марса). Следовательно, скорость кометы в перигелии и афелии: $V_p = 33$ км/с и $V_a = 21$ км/с.

Значит, в том случае, если комета движется вблизи плоскости эклиптики в сторону обращения планет, в перигелии она будет догонять Землю со скоростью $V_p - C_p = 3$ км/с, а в афелии ее будет догонять Марс с такой же скоростью $C_a - V_a = 3$ км/с. В остальных случаях, когда орбита кометы произвольно наклонена к эклиптике, ее скорость относительно планеты легко вычисляется по правилу параллелограмма.

Поскольку диапазон расстояний кометы от Солнца невелик (1,0 ÷ 1,5 а.е.), условия ее нагрева Солнцем остаются достаточно стабильными, поэтому условия видимости кометы в основном зависят от ее положения на относительно Земли. Комета будет близка к Земле в период ночной видимости, и далека от Земли в периоды утренней и вечерней видимости.

Оригинал в Архива: prob1994tvor.pdf · официални решения: sol1994tvor.pdf