ВсОА 1998, Заключителен етап, 8–11 клас — Задача 11.4

• Около $-8^{m}$ (в зависимости от коэффициента отражения и яркости фонаря — от $-9^{m}$ до $-5^{m}$).

Задача эта, очевидно, оценочная. Скорее даже – экспериментальная. Вначале надо понять, почему в данном случае светится кошачий глаз. Иногда ведь кошачьи глаза светятся и в полной темноте. Но, конечно, далеко не столь ярко, как вблизи источников света. Проводя экспериментальные наблюдения котов под фонарями, можно установить: для того, чтобы увидеть наиболее яркие глаза, оптимальным вариантом является Ваше расположение практически точно между фонарем и котом. Чем ближе к коту Ваша тень от фонаря, тем ярче сверкают его глаза. Было бы еще ярче, если бы Вы попали точно на линию фонарь-кот, но при этом кота Вы «затмеваете». Из всего этого можно сделать вывод, что кошачьи глаза являются почти зеркальцами, отражающими свет точно назад.

Кстати, здесь немаловажно, что кот тоже за Вами внимательно наблюдает (обычно – опасается), то есть плоскость его глаз перпендикулярна направлению на Вас и фонарь. Но вообще, вовсе не обязательно, чтобы фонарь, Вы и кот находились на одной прямой – иногда глаза сверкают просто при повороте им головы, когда направление его взгляда соответствует примерно биссектрисе угла человек-кот-фонарь.

Теперь рассмотрим кота, любующегося полной Луной. Будем считать, что диаметр зрачка кошачьего глаза (ночью!) около 10 мм, глаза отражают свет почти как зеркало, а коэффициент отражения около 1/3 (т.е. отражают треть падающего на него света). Легко вычислить, что угловая площадь светящегося кошачьего глаза с расстояния 5 метров составляет около $3\cdot 10^{-6}$ квадратных радиан, что явно меньше угловой площади лунного диска ($7\cdot 10^{-5}$ квадратных радиан). Поэтому можно считать, что в кошачьем глазе, как в зеркале, Вы увидите часть Луны с угловой площадью около $3\cdot 10^{-6}$ квадратных радиан и втрое меньшей яркостью (так как коэффициент отражения 1/3).

Таким образом, от кошачьего глаза, расположенного на расстоянии 5 метров, к Вам попадает максимум 1/70 света полной Луны. То есть, звездная величина кошачьего глаза будет примерно на $4.5^{m}$ больше, чем у полной Луны и составит около $-8^{m}$. Оценка, конечно, очень грубая. В зависимости от величины коэффициента отражения в кошачьем глазе и яркости фонаря можно получить от $-9^{m}$ до $-5^{m}$.