Съдържание

ВсОА 1998, Заключителен етап, 8–11 клас — Задача 11.5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 1998

V Российская олимпиада школьников по астрономии и космической физике. Теоретический тур, условия задач. · 7 април 1998 г.

Условие

Космический корабль совершает перелет от Земли к Марсу по орбите Гомана-Цандера (в перигелии эта орбита касается орбиты Земли, а в афелии – орбиты Марса). Найдите время такого перелета, а также минимальное время, в течение которого космонавтам придется ожидать на Марсе момента отправления в обратный путь по орбите такой же формы. Из численных данных Вам известны только периоды обращения Земли и Марса вокруг Солнца: $T_{\oplus} = 365.25$ и $T_{\text{♂}} = 687$ суток соответственно. Орбиты планет считать круговыми и лежащими в одной плоскости.

Отговори

Решение

Большая полуось орбиты, по которой космический корабль совершает перелет ( $a_{\oplus\text{♂}}$ ) будет равна полусумме радиусов орбит Земли и Марса $a_{\oplus}$ и $a_{\text{♂}}$ . Время перелета от Земли к Марсу по этой орбите равно половине орбитального периода. Выражая его в годах и воспользовавшись III законом Кеплера, получаем значение времени перелета:

\tau = T_{\oplus\text{♂}}/2 = [(a_{\oplus} + a_{\text{♂}})/2]^{3/2}/2 = 259\ \text{сут}

Схема перелета по орбите Гомана–Цандера: в центре Солнце (подпись СОЛНЦЕ), вокруг него меньшая окружность — орбита Земли и большая окружность — орбита Марса; эллипс касается орбиты Земли внизу в точке ЗЕМЛЯ и орбиты Марса вверху в точке МАРС. Вертикальная линия соединяет эти точки через Солнце; радиус к точке на орбите Земли слева образует угол φ с вертикалью.

Для вычисления времени, в течении которого космонавтам придется ожидать на Марсе момента отправления в обратный путь по такой же орбите, заметим, что в момент прилета Земля опережает Марс на угол

\varphi = \omega_{\oplus}\tau - \pi = 2\pi\tau/T_{\oplus} - \pi,

где $\omega_{\oplus} = 2\pi/T_{\oplus}$ – угловая скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца.

В момент отправления в обратный путь Земля, очевидно, должна отставать от Марса не такой же угол $\varphi$ , что соответствует опережению на угол $2\pi k - \varphi$ (где $k$ – целое число). Для вычисления минимального времени надо найти такое минимальное $k$ , при котором $(2\pi k - \varphi) > \varphi$ . Из численных данных видно, что в нашем случае $k = 1$ . Время, за которое опережение Земли увеличится с $\varphi$ до $2\pi - \varphi$ равно

T_{\text{ожид}} = (2\pi - 2\varphi)/(\omega_{\oplus} - \omega_{\text{♂}}),

Где $(\omega_{\oplus} - \omega_{\text{♂}})$ – относительная угловая скорость движения Земли и Марса,

T_{\text{ожид}} = (1 - \varphi/\pi)/(1/T_{\oplus} - 1/T_{\text{♂}}) = (2 - 2\tau/T_{\oplus})/(1/T_{\oplus} - 1/T_{\text{♂}}) \approx 454\ \text{сут}.

Оригинал в Архива: prob1998teor.pdf · официални решения: sol1998teor.pdf