ВсОА 1999, Заключителен етап — Задача 19. 11 класс

• 23 deg

Пусть d – расстояние до радиогалактики, l – расстояние, пройденное компактным радиоисточником, φ – угол, под которым видит l наблюдатель, θ – искомый угол. Тогда, из теоремы синусов получаем:

Подставляя значения d = $10^{9}$ св.лет, φ = $10^{-3}$ угловой секунды, l = 1 св.год, получаем sin(θ+φ) = 4.85. Очевидно, что синус не может быть больше единицы, а значит, в решение закралась ошибка.

Рассмотрим задачу более внимательно. Пусть S – источник выброса, O - наблюдатель. В начальный момент времени выброс начал двигаться под углом θ линии SO. При этом из точки S излучился квант электромагнитного излучения. Когда выброс прошел расстояние l = v·t (t=1 год) и достиг точки A, квант преодолел расстояние c·t. В точке A выброс излучил еще один квант, который, как и первый, зарегистрировал наблюдатель. Опустим перпендикуляр из точки A на прямую SO. Пусть B точка пересечения перпендикуляра и SO. Тогда расстояние, пройденное выбросом вдоль луча зрения

а расстояние, пройденное поперек луча зрения

Разница времени между получением сигналов, что выброс вышел из точки S и пришел в точку B составляет

Или, с учетом того, что v = c:

Таким образом, за время Δt = 1 год радиоисточник переместился на угловое расстояние φ, или линейное расстояние

Отсюда получаем

Следует отметить, что эта скорость не является собственной скоростью источника, так что в превышении скорости света нет ничего загадочного. С другой стороны, скорость $V_t$ можно вычислить, как $l_t/\Delta t$. Тогда:

Далее

В итоге получаем θ = 23º.