ВсОА 2000, Заключителен етап, 8–11 клас — Задача 7. № 5 для 9 класса и 10 класса

• Да: минимальный радиус орбиты, при котором звездолёт виден Комову, около 7520 км, меньше реального радиуса орбиты 8380 км, поэтому с ним можно будет связаться.

Будем считать, что у планеты Леониды такие же размер, масса и период собственного вращения, как у Земли. Тогда радиус орбиты звездолёта составлял около R = 2000 км + 6380 км = 8380 км (поскольку расстояние до корабля 2 Мм = 2000 км было в тот момент, когда звездолёт находился в зените). Из III закона Кеплера следует, что период спутника зависит от радиуса орбиты как $R^{3/2}$. [Можно обойтись и без III закона Кеплера, просто рассмотрев движение корабля по круговой орбите.] Известно, что на низкой околоземной орбите (на высотах 180 - 280 км) период обращения спутника составляет 88 - 90 минут, значит на орбите звездолёта он составит

[Другие способы: просто найти период обращения по формуле $T = 2\pi(R/g_R)^{1/2}$ или же брать в качестве исходного данного теоретический период для нулевой высоты $T_o = 2\pi(R/g_o)^{1/2} = 84$ минуты.]

Через это время звездолёт вновь пройдёт через зенит той точки экватора Леониды, где был Комов, но его там уже не будет: вращение планеты переместит его к востоку примерно на 32°. ($360^{\circ}\cdot 2{,}1^{\text{ч}}/24^{\text{ч}} \approx 32^{\circ}$). Будет ли находиться корабль в прямой видимости Комова? Без вычислений это определить нельзя. Найдём, каков может быть минимальный радиус орбиты «Подсолнечника», чтобы Комов видел его хотя бы на горизонте. Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом в точке, где находится Комов, и углом 32° в центре планеты. [При разборе нарисовать чертёж.] Тогда минимальный радиус орбиты «Подсолнечника», когда тот будет виден Комову. составит $R_{\text{Л}}/\cos 32^{\circ} \approx 6380/0{,}848 \approx 7520$ км, это меньше реального радиуса орбиты в 8380 км. Поэтому звездолёт в любом случае окажется в пределах видимости Комова и с ним можно будет связаться.

Примечание: неверно оперировать расстояниями и пользоваться формулой $L = (2Rh)^{1/2}$ для нахождения расстояния (до горизонта) в данном случае. Эта формула применима только для малых h по сравнению с R и малых углов (много меньше радиана). В нашем случае это далеко не так (h сравнимо с R, а угол составляет более половины радиана).