Съдържание

ВсОА 2000, Заключителен етап, 8–11 клас — Задача 9. № 2 для 10 класса и 11 класса

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2000

VII Российская олимпиада школьников по астрономии и физике космоса. Первый тур · 7 април 2000 г.

Условия задач для 8-9 класса, 10 класса и 11 класса. Первый тур.

При решении любой задачи можно пользоваться данными Таблицы Солнечной системы.

Условие

В созвездии Ориона, на расстоянии 120 световых лет от нас, земные астрономы обнаружили звезду, по всем параметрам аналогичную Солнцу. Цивилизация "зелёных человечков", живущая на одной из планет, обращающейся вокруг той звезды, также заинтересовалась нашим Солнцем. Измерения параллакса нашего Солнца, произведённые астрономами той цивилизации (согласно их классическим правилам измерения параллакса), дали результат 0,039". Найти продолжительность года у зелёных человечков.

Отговори

Решение

Для землян параллакс (годичный) какого-либо объекта – это (по определению) угловой размер большой полуоси земной орбиты (расположенной перпендикулярно направлению на объект), видимый с этого объекта. Очевидно, что для "зелёных человечков" параллакс Солнца – это угловой размер большой полуоси орбиты их планеты, видимой с Солнца. То есть, $\pi = \mathbf{a}/\mathbf{L}$ , где $\pi = 0{,}039''$ – параллакс Солнца, $\mathbf{L} = 120$ св.лет - расстояние от звезды "зелёных человечков" до Солнца, $\mathbf{a}$ - большая полуось орбиты планеты "зелёных человечков". Тогда $\mathbf{a} = \pi\cdot\mathbf{L}$ . Период обращения планеты $\mathbf{T}$ можно определить из III Закона Кеплера. Учитывая, что звезда "зелёных человечков" по всем параметрам – в том числе и массе – аналогична Солнцу, получаем:

\mathbf{T/T_{\text{з}} = (a/a_{\text{з}})^{3/2} = (\pi\cdot L/a_{\text{з}})^{3/2}},

где $\mathbf{T_{\text{з}}}$ и $\mathbf{a_{\text{з}}}$ - период обращения вокруг Солнца и большая полуось орбиты Земли.

Считая, что год равен периоду обращения планеты вокруг звезды (вообще, это абсолютно верно только в том случае, когда нет прецессии оси собственного вращения планеты), получаем:

\mathbf{T = T_{\text{з}}\cdot(\pi\cdot L/a_{\text{з}})^{3/2} =}

= 1\ \text{год}\cdot(0{,}039''/206265''\cdot 120\ \text{лет}\cdot 365{,}25\ \text{сут/лет}\cdot 86400\ \text{сек/сут}\cdot 3\cdot 10^{8}\ \text{м/сек}\ /\ 1{,}496\cdot 10^{11}\ \text{м})^{3/2} =

\mathbf{= 1}\ \textbf{год}\ \mathbf{\cdot\ 1{,}44^{3/2} \approx 1{,}72}\ \textbf{года.}

Вообще, удивительно, как там живут эти "зелёные человечки", это ведь почти орбита Марса, там должно быть довольно прохладно.

Оригинал в Архива: prob2000teor.pdf · официални решения: sol2000teor.pdf