Съдържание

ВсОА 2004, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 15. 11 класс, 3. Точка Лагранжа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2004

XI Российская олимпиада школьников по астрономии и физике космоса. Теоретический тур, условия задач · 8 април 2004 г.

Условие

Вашему вниманию предлагается цитата из научно-фантастического романа Артура Кларка "2010: Одиссея Два":

"... оба корабля благополучно прибыли в точку Лагранжа Л-1, расположенную между Ио и Юпитером на высоте десяти с половиной тысяч километров...

... Астрономия полна загадочных, хотя и бессодержательных совпадений. Наиболее известно равенство угловых размеров Луны и Солнца, если смотреть с Земли. Здесь, в первой точке Лагранжа … наблюдалась та же картина. Планета и спутник выглядели одинаковыми по величине…

Рассчитайте положение точки, в которую прибыли корабли. Соответствует ли приведенное А. Кларком значение расчётному? Действительно ли планета и спутник выглядят из этой точки одинаковыми по величине?

Примечание. Точка Лагранжа (точка либрации) в данном контексте – точка, в которой космический аппарат может двигаться (без использования двигателей), оставаясь в неизменном положении по отношению к Ио и Юпитеру.

Примечание. При решении рекомендуется воспользоваться математическим правилом приближенного представления функции типа $(1-x)^{-n}$ : если $x \ll 1$ , то $(1-x)^{n} \approx 1 + nx$ .

Отговори

Решение

(Е.Б. Постников, дополнения - А.В. Засов, М.Г. Гаврилов, О.С. Угольников)

По описанию, корабль находится в той точке либрации, которая располагается на прямой, соединяющей Юпитер и Ио и находится между ними. Так как масса Юпитера M и Ио μ много больше массы корабля m, то вращение этой прямой в пространстве определяется вращением Ио вокруг Юпитера с угловой скоростью ω.

Эта угловая скорость определяется равенством $\frac{GM}{L^{2}} = \omega^{2}L$ , откуда $\omega^{2} = \frac{GM}{L^{3}}$ .

Обозначим через ΔL расстояние от корабля до Ио. Корабль находится в равновесии под действием противоположно направленных сил притяжения со стороны Юпитера $GMm/(L-\Delta L)^{2}$ и Ио $G\mu m/(\Delta L)^{2}$ , которые сообщают ему центростремительное ускорение $a = \omega^{2}(L-\Delta L)$ . По второму закону Ньютона:

\frac{GMm}{(L-\Delta L)^{2}} - \frac{G\mu m}{\Delta L^{2}} = m\omega^{2}(L-\Delta L);

\frac{GM}{(L-\Delta L)^{2}} - \frac{G\mu}{\Delta L^{2}} = \omega^{2}(L-\Delta L);

\frac{GM}{L^{2}\left(1-\frac{\Delta L}{L}\right)^{2}} - \frac{G\mu}{\Delta L^{2}} = \omega^{2}(L-\Delta L)

Так как $\mu \ll M$ , то точка либрации находится гораздо ближе к Ио, чем к центру Юпитера, то есть $\frac{\Delta L}{L} \ll 1$ и $\frac{1}{\left(1-\frac{\Delta L}{L}\right)^{2}} \approx 1 + 2\frac{\Delta L}{L}$ ,

\frac{GM\left(1+2\frac{\Delta L}{L}\right)}{L^{2}} - \frac{G\mu}{\Delta L^{2}} = \omega^{2}(L-\Delta L).

Раскрывая скобки, получаем:

\frac{GM}{L^{2}} + \frac{2GM\Delta L}{L^{3}} - \frac{G\mu}{\Delta L^{2}} = \omega^{2}L - \omega^{2}\Delta L.

Учитывая, что $\omega^{2} = GM/L^{3}$ и сокращая соответствующие слагаемые, получаем:

\frac{2GM\Delta L}{L^{3}} - \frac{G\mu}{\Delta L^{2}} = \frac{GM\Delta L}{L^{3}}.

Окончательный ответ: $\Delta L = L\sqrt[3]{\frac{\mu}{3M}}$ .

Подставим числа: $\Delta L = 422$ тыс. км $\times\ (89{,}4\cdot 10^{21}\ \text{кг} / 3\cdot 1{,}90\cdot 10^{27}\text{кг})^{1/3} = 10{,}6$ тыс. км. Таким образом, у Артура Кларка приведено абсолютно правильное положение точки Лагранжа.

Теперь ответим на вопрос о видимых радиусах Юпитера и Ио.

Обозначим радиусы Юпитера и Ио, соответственно, как R и r, их видимые угловые радиусы – как P и p, а плотности – как $\rho_1$ и $\rho_2$ . Учитывая, что

M = \frac{4}{3}\pi\rho_1 R^{3},\ \ \mu = \frac{4}{3}\pi\rho_2 r^{3},

получаем, что

P = \frac{R}{L-\Delta L} = \frac{3M}{4\pi\rho_1(L-\Delta L)},

p = \frac{r}{\Delta L} = \frac{3\mu}{4\pi\rho_2\Delta L}.

Откуда

\frac{p}{P} = \frac{L-\Delta L}{\Delta L}\times\sqrt[3]{\frac{\mu}{\mathrm{M}}}\times\sqrt[3]{\frac{\rho_1}{\rho_2}} = \left(\sqrt[3]{\frac{3M}{\mu}}-1\right)\times\sqrt[3]{\frac{\mu}{\mathrm{M}}}\times\sqrt[3]{\frac{\rho_1}{\rho_2}} = \left(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{\frac{\mu}{M}}\right)\times\sqrt[3]{\frac{\rho_1}{\rho_2}}.

Подставим значения μ, M, $\rho_1$ и $\rho_2$ , взяв их из таблицы Солнечной системы. Благодаря тому, что средняя плотность Ио как раз примерно втрое больше, чем у Юпитера (3,55 против 1,33 г/см $^{3}$ ) получается, что видимый радиус Ио будет всего лишь в 1,014 раза больше. Разницу в 1,4 % обычный наблюдатель не замечает (тем более, в противоположных точках горизонта). То есть, Юпитер и Ио действительно выглядят одинаковыми из этой точки.

Примечание: Кстати, заметим интересный факт. Соотношение видимых из точки Лагранжа угловых размеров планеты и спутника определяется, главным образом, соотношением их плотностей. А если масса спутника пренебрежимо мала по сравнению с массой планеты, что имеет место и в нашем случае ( $\mu \ll M$ : $\mu/M \approx 1/20000$ ), то исключительно соотношением их плотностей.

Если в последней формуле сделать приближение, учтя, что $\mu \ll M$ , получим:

\frac{p}{P} \approx \sqrt[3]{\frac{3\rho_1}{\rho_2}}.

В таком приближении видимый радиус Ио будет всего в $(3{,}99/3{,}55)^{1/3} \approx 1{,}04$ раза больше. Разница в 4 % – тоже небольшая. Обычный наблюдатель о в противоположных точках горизонта её также не замечает.

Оригинал в Архива: prob2004teor.pdf · официални решения: sol2004teor.pdf