Съдържание

ВсОА 2005, Заключителен етап — Задача 12. Солнечная плавильная печь

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2005

XII Российская Олимпиада по астрономии и физике космоса — теоретический и практический туры

Внимание: Бележка към темата

19 целых задач в порядке оригинального сборника решений покрывают 24 задания в листах для 9, 10 и 11 классов. Общие задания объединены самим оригинальным ключом; классы, тур и исходный номер указаны в каждом условии. Сохранены исходные формулировки листа заданий, все имеющиеся решения, авторские подписи и оригинальные рисунки. Решения взяты из архивного сборника «Условия и решения задач»; отдельная внешняя проверка официального происхождения ключа не проводилась.

Условие

Теоретический тур. Класс: 11. Задача: 3.

Определите, до какой температуры можно нагреть абсолютно черный шар радиусом $r$ с помощью солнечного излучения, собираемого зеркалом диаметром $D$ и фокусным расстоянием $F$ . Считать температуру всех точек шара одинаковой. Потерями энергии на пути к шару пренебречь.

Решение

А.М. Татарников

Поток солнечной энергии на расстоянии Земли равен

J_0=\frac{\sigma T_0^4R_0^2}{L^2}.

Здесь $T_0$ — эффективная температура Солнца, $R_0$ — радиус Солнца, $L$ — расстояние от Солнца до Земли. Количество солнечной энергии, попадающее за единицу времени на зеркало, составит

E=\frac{\pi\sigma T_0^4R_0^2D^2}{4L^2}.

Радиус изображения Солнца в фокальной плоскости равен фокусному расстоянию объектива, умноженному на видимый радиус Солнца:

\rho=\frac{FR_0}{L}.

Возможны два различных случая. Если радиус шара больше радиуса изображения Солнца, то вся солнечная энергия, попавшая на зеркало, будет поглощаться шаром и идти на его нагрев. В свою очередь, шар будет излучать как абсолютно черное тело. При некоторой температуре шара $T$ величины энергии, поглощаемой и излучаемой шаром, сравняются:

\frac{\pi\sigma T_0^4R_0^2D^2}{4L^2}=4\pi\sigma r^2T^4.

Из этого уравнения получаем температуру шара:

T=\frac{T_0}{2}\sqrt{\frac{R_0D}{Lr}}=290\text{ K}\cdot\sqrt{\frac{D}{2r}}.

Если радиус шара $r$ меньше радиуса изображения Солнца $\rho$ , то он будет поглощать не всю солнечную энергию, попавшую в телескоп. Количество солнечной энергии, попадающее на единичную площадь в фокальной плоскости за 1 секунду, составит

J=\frac{E}{\pi\rho^2}=\frac{\sigma T_0^4D^2}{4F^2}.

Приравнивая величины поглощаемой и излучаемой энергии, получаем:

\frac{\pi\sigma T_0^4D^2r^2}{4F^2}=4\pi\sigma r^2T^4.

Наконец, температура шара составит

T=\frac{T_0}{2}\sqrt{\frac{D}{F}}=3000\text{ K}\sqrt{\frac{D}{F}}.

Следует обратить внимание, что в первом случае температура шара не зависит от фокусного расстояния объектива, а во втором случае — от размеров шара.

Оригинал в Архива: prob2005tepr.pdf · решение от архива: sol2005tepr.pdf