Съдържание

ВсОА 2005, Заключителен етап — Задача 8. Конфигурации Юпитера и Сатурна

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2005

XII Российская Олимпиада по астрономии и физике космоса — теоретический и практический туры

Внимание: Бележка към темата

19 целых задач в порядке оригинального сборника решений покрывают 24 задания в листах для 9, 10 и 11 классов. Общие задания объединены самим оригинальным ключом; классы, тур и исходный номер указаны в каждом условии. Сохранены исходные формулировки листа заданий, все имеющиеся решения, авторские подписи и оригинальные рисунки. Решения взяты из архивного сборника «Условия и решения задач»; отдельная внешняя проверка официального происхождения ключа не проводилась.

Условие

Теоретический тур. Класс: 10. Задача: 3.

7 декабря 2004 года верхняя кульминация Юпитера произошла примерно на 5 часов позже верхней кульминации Сатурна. Какое расстояние разделяло эти планеты в пространстве, если известно, что 5 декабря наблюдалась последняя четверть Луны, а двумя днями позже произошло соединение Юпитера с Луной? Орбиты Земли, Юпитера, Сатурна и Луны считать круговыми.

Решение

Н.И. Перов

Во время последней четверти Луны наш естественный спутник находится в $90^\circ$ к западу от Солнца. Полный оборот относительно Солнца Луна завершает за 29.53 суток, приближаясь к нему с запада на $12.2^\circ$ за сутки. Поэтому во время соединения Луны и Юпитера оба светила располагались примерно в $\gamma_1=66^\circ$ к западу от Солнца. Сатурн кульминирует на 5 часов раньше, то есть находится на $75^\circ$ западнее Юпитера, и его угловое расстояние от Солнца $\gamma_2$ составляет примерно $141^\circ$ .

Обозначим радиус орбит Земли, Юпитера и Сатурна через $R$ , $r_1$ и $r_2$ соответственно, расстояния от Земли до Юпитера и Сатурна — через $d_1$ и $d_2$ . Для треугольников "Солнце-Земля-Юпитер" и "Солнце-Земля-Сатурн" справедлива теорема косинусов:

Схема конфигурации Юпитера и Сатурна с радиусами, расстояниями и углами.

r_{1,2}^2=R^2+d_{1,2}^2-2Rd_{1,2}\cos\gamma_{1,2}.

Решая эти квадратные уравнения, получаем выражения для расстояний от Земли до обеих планет (выбирая положительные корни уравнений):

d_{1,2}=R\cos\gamma_{1,2}+\sqrt{R^2\cos^2\gamma_{1,2}+r_{1,2}^2-R^2}.

Подставляя численные значения, получаем величины расстояний до Юпитера и Сатурна: 5.5 а.е. и 8.7 а.е. соответственно. Для вычисления расстояния между Юпитером и Сатурном $L$ вновь применим теорему косинусов:

L^2=d_1^2+d_2^2-2d_1d_2\cos(\gamma_2-\gamma_1).

В результате получаем, что расстояние между Юпитером и Сатурном составляет около 9.1 а.е.

Оригинал в Архива: prob2005tepr.pdf · решение от архива: sol2005tepr.pdf