Съдържание

ВсОА 2006, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 17. 11 класс · Теоретический тур · Задача 5 — Затменная переменная звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2006

XIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры, 9–11 классы · 17 април 2006 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

Астрономическое общество

XIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Саранск, 2006 г.

Условия и решения задач теоретического и практического туров.

XIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Саранск, 17–22 апреля 2006 года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.В. Засова, А.С. Расторгуева, А.М. Татарникова, О.С. Угольникова. 2006, 28 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Теоретический тур. 11 класс. Задача 5.

Затменная переменная звезда каждые 30 дней уменьшает свой блеск на $0.2^m$ , и при этом все ее минимумы совершенно одинаковы. Спектральные наблюдения показали, что линия H $\alpha$ (лабораторная длина волны $6563\ \text{Å}$ ) раздвоена, ее компоненты периодически расходятся на $2\ \text{Å}$ . Считая затмения центральными, а средние плотности звезд — одинаковыми, определите их массы. Потемнением дисков звезд к краю пренебречь.

Решение

Затменная переменная звезда (О.С. Угольников).

Одинаковый вид главного и вторичного минимумов затменной переменной звезды означает одинаковую поверхностную яркость обеих компонент, входящих в систему. А это, в свою очередь, говорит о равенстве их эффективных температур. По условию задачи затмения центральные, а потемнение дисков звезд к краю отсутствует. Обозначим радиус большей звезды через $R$ , радиус меньшей звезды через $r$ . Тогда величина обоих минимумов составляет

\Delta m=-2.5\lg\frac{\pi R^2}{\pi R^2+\pi r^2}=2.5\lg\left(1+\frac{r^2}{R^2}\right).

Отсюда мы находим соотношение радиусов звезд:

\frac rR=\sqrt{10^{0.4\Delta m}-1}=0.45.

По условию задачи, средние плотности звезд одинаковы, поэтому мы можем определить и соотношение их масс:

\frac mM=\left(\frac rR\right)^3=0.091=\frac1{11}

Минимумы затменной переменной одинаковы не только по глубине, но и по продолжительности. Кроме этого, они происходят через одинаковые промежутки времени. Следовательно, орбиты звезд в этой системе круговые, а период обращения $T$ есть удвоенный промежуток времени между минимумами, то есть 60 дней. Раз затмения центральные, то плоскость орбит звезд проходит через Землю. Это дает нам возможность определить по спектральным наблюдениям в линии $\mathrm{H}\alpha$ относительную скорость звезд:

v=c\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=91.4\ \text{км/с}.

Здесь $\Delta\lambda$ — максимальное расстояние между компонентами спектральной линии, а $\lambda$ — ее длина волны. Полученные значения позволяют определить расстояние между звездами:

a=\frac{vT}{2\pi},

что составляет 75 млн км или 0.5 а.е. Выражая период обращения $T$ в годах (0.164 года), мы получаем величину суммарной массы звезд в массах Солнца:

M+m=\frac{a^3}{T^2}=4.6.

Учитывая полученное ранее соотношение масс, получаем значения масс звезд: 4.2 и 0.4 массы Солнца.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены отдельные задачи 9, 10 и 11 классов в теоретическом и практическом турах. Общие печатные ключи явно обозначают соответствующие пары классов; это не объединение разных возрастных заданий. В условии 9-Т-6 и ключе указано 8 минут 20 секунд. В ключе 9-П-1 напечатано, что L есть расстояние от Земли до Луны, хотя схема и формула используют расстояние Земля–Солнце; эта форма оригинала сохранена. Условие 11-П-2 ссылается на диаграмму радиус–масса, но ее пустой бланк отсутствует в полученном 8-страничном PDF условий. Заполненная диаграмма из ключа оставлена в решении. Библиографическая запись ключа говорит 28 страниц; полученный оригинальный PDF имеет 26 страниц, полный научный ключ заканчивается на 25-й, 26-я предназначена для заметок. Две недоступные страницы не восстановлены предположением. Численные баллы и схемы оценивания в доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2006tepr.pdf · официални решения: psol2006tepr.pdf