Съдържание

ВсОА 2006, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 18. 11 класс · Теоретический тур · Задача 6 — Спутник галактики

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2006

XIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры, 9–11 классы · 17 април 2006 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

Астрономическое общество

XIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Саранск, 2006 г.

Условия и решения задач теоретического и практического туров.

XIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Саранск, 17–22 апреля 2006 года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.В. Засова, А.С. Расторгуева, А.М. Татарникова, О.С. Угольникова. 2006, 28 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Теоретический тур. 11 класс. Задача 6.

Каким может быть максимальный размер спутника гигантской галактики, движущегося по круговой орбите радиусом 30 кпк, если галактика обладает "плоской" кривой вращения, то есть линейная скорость движения по круговой орбите не зависит от радиуса орбиты и составляет 250 км/с? Спутник имеет массу, равную $10^9$ солнечных масс, и сохраняет сферическую симметрию.

Решение

Спутник галактики (А.С. Расторгуев).

Устойчивость шарообразной галактики-спутника зависит от того, достаточно ли его притяжения для удержания всех частей шара, или они могут перейти на самостоятельные орбиты вокруг центра главной галактики. Последнее может произойти, если какая-либо точка внутри (или хотя бы на поверхности) шара окажется в так называемой внутренней точке Лагранжа системы «галактика-спутник». Эта точка находится на отрезке, соединяющей центры галактики и спутника, и ее положение определяется тем, что материальное тело в этой точке будет обращаться вокруг центра главной галактики с той же угловой скоростью $\omega$ , что и галактика-спутник, оставаясь на линии, соединяющей центры галактик. При дальнейшем удалении от спутника тело перейдет на самостоятельную орбиту вокруг центра главной галактики. Таким образом, максимальный радиус спутника $R$ есть расстояние от центра спутника до внутренней точки Лагранжа. Найдем это расстояние.

Полная исходная схема центра галактики и сферического спутника, L/R/v/g/a, стрелки и весь круг.

Полная масса галактики и распределение массы внутри нее неизвестны, однако мы знаем величину круговой орбитальной скорости $v$ на любом расстоянии от центра галактики, а значит, знаем и величину ускорения силы тяжести. Угловая скорость движения спутника равна

\omega=\frac vL,

где $L$ — расстояние от центра галактики до центра спутника. На край спутника, находящийся ближе всего к центру галактики, действуют силы притяжения от галактики и от самого спутника. Ускорения этих сил направлены в противоположные стороны и равны

g=\frac{v^2}{L-R},\qquad a=\frac{GM}{R^2}.

Здесь $M$ — масса спутника. Данная точка, как и весь спутник, движется относительно центра галактики с угловой скоростью $\omega$ . Отсюда мы получаем:

\omega^2(L-R)=\frac{v^2(L-R)}{L^2}=\frac{v^2}{L-R}-\frac{GM}{R^2}.

Предположим, что размер спутника существенно меньше его расстояния до центра галактики. В этом случае данное равенство можно упростить:

\frac{v^2}L-\frac{v^2R}{L^2}=\frac{v^2}L\left(1+\frac RL\right)-\frac{GM}{R^2}.

Из этого равенства следует:

\frac{2v^2R}{L^2}=\frac{GM}{R^2},

из чего получаем верхнюю оценку для радиуса спутника:

R=\left(\frac{GML^2}{2v^2}\right)^{1/3}.

Подставляя численные значения, получаем $10^{20}$ м или 3.3 кпк. Мы видим, что сделанное нами предположение, что данный радиус существенно меньше расстояния до центра галактики, оправдывается и допустимо для требуемой оценки. Максимальный диаметр спутника составляет 6.6 кпк.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены отдельные задачи 9, 10 и 11 классов в теоретическом и практическом турах. Общие печатные ключи явно обозначают соответствующие пары классов; это не объединение разных возрастных заданий. В условии 9-Т-6 и ключе указано 8 минут 20 секунд. В ключе 9-П-1 напечатано, что L есть расстояние от Земли до Луны, хотя схема и формула используют расстояние Земля–Солнце; эта форма оригинала сохранена. Условие 11-П-2 ссылается на диаграмму радиус–масса, но ее пустой бланк отсутствует в полученном 8-страничном PDF условий. Заполненная диаграмма из ключа оставлена в решении. Библиографическая запись ключа говорит 28 страниц; полученный оригинальный PDF имеет 26 страниц, полный научный ключ заканчивается на 25-й, 26-я предназначена для заметок. Две недоступные страницы не восстановлены предположением. Численные баллы и схемы оценивания в доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2006tepr.pdf · официални решения: psol2006tepr.pdf