Съдържание

ВсОА 2006, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 26. 11 класс · Практический тур · Задача 2 — Поиск обитаемых планет

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2006

XIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры, 9–11 классы · 17 април 2006 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

Астрономическое общество

XIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии

г. Саранск, 2006 г.

Условия и решения задач теоретического и практического туров.

XIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Саранск, 17–22 апреля 2006 года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.В. Засова, А.С. Расторгуева, А.М. Татарникова, О.С. Угольникова. 2006, 28 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Практический тур. 11 класс. Задача 2.

Из анализа условий, необходимых для существования жизни типа земной, на планете должна сформироваться и удерживаться (в течение длительного времени) азотно-кислородная атмосфера при температуре 273 K, а ускорение силы тяжести $g$ должно быть заключено в интервале от 5 до 15 м/с². Укажите на диаграмме "радиус планеты ( $R$ ) — масса планеты ( $M$ )" область потенциально обитаемых планет.

Решение

Поиск обитаемых планет (Н.И. Перов).

Для того, чтобы азотно-кислородная атмосфера на планете существовала в течение длительного времени, необходимо, чтобы средняя тепловая скорость молекул была меньше второй космической скорости у поверхности (на самом деле, это ограничение гораздо строже, тепловая скорость должна быть во много раз меньше). Данное условие можно записать как

\sqrt{\frac{3kT}m}<\sqrt{\frac{2GM}R},

где $T$ — заданная температура атмосферы, $m$ — масса молекулы (примем ее равной 30 массам протона или $5\cdot10^{-26}$ кг), $M$ и $R$ — масса и радиус планеты. Из этого вытекает соотношение между массой и радиусом:

M>\frac{3kT}{2Gm}\cdot R.

Данное неравенство ограничивает область обитаемых планет на диаграмме «радиус-масса» снизу прямой, проходящей через начало координат. Другое ограничение получается из требования на величину ускорения свободного падения:

g_1<\frac{GM}{R^2}<g_2;\qquad\frac{g_1}G\cdot R^2<M<\frac{g_2}G\cdot R^2.

Здесь $g_1$ и $g_2$ — заданные минимальное и максимальное ускорения силы тяжести на поверхности планеты. Условие ограничивает область обитаемых планет двумя параболами, также проходящими через центр координат. В результате, мы получаем картину, изображенную на рисунке.

Полная исходная диаграмма ключа радиус–масса, обе параболы/прямая/серая область, A/B и все формулы/оси. Это заполненный ключ, не отсутствующий бланк условия.

Для полного задания картины нам нужно определить координаты точек A и B, то есть найти радиусы и массы планет в этих предельных случаях. Для точки A имеем:

\frac{3kT}{2Gm}\cdot R=\frac{g_2}G\cdot R^2;\qquad R=\frac{3kT}{2mg_2};\qquad M=\frac{9k^2T^2}{4Gg_2m^2}.

Численная подстановка дает значение радиуса 7.5 км и массы $1.3\cdot10^{19}$ кг. Для точки B имеем аналогичные выражения

R=\frac{3kT}{2mg_1};\qquad M=\frac{9k^2T^2}{4Gg_1m^2}

и втрое большие величины радиуса и массы: около 22.5 км и $3.8\cdot10^{19}$ кг. Мы видим, что данные точки соответствуют очень маленьким, но при этом весьма плотным планетам (плотность порядка $10^6$ кг/м³). Более типичные планеты, похожие на Землю, находятся далеко в верхней части участка, закрашенного на рисунке серым цветом.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены отдельные задачи 9, 10 и 11 классов в теоретическом и практическом турах. Общие печатные ключи явно обозначают соответствующие пары классов; это не объединение разных возрастных заданий. В условии 9-Т-6 и ключе указано 8 минут 20 секунд. В ключе 9-П-1 напечатано, что L есть расстояние от Земли до Луны, хотя схема и формула используют расстояние Земля–Солнце; эта форма оригинала сохранена. Условие 11-П-2 ссылается на диаграмму радиус–масса, но ее пустой бланк отсутствует в полученном 8-страничном PDF условий. Заполненная диаграмма из ключа оставлена в решении. Библиографическая запись ключа говорит 28 страниц; полученный оригинальный PDF имеет 26 страниц, полный научный ключ заканчивается на 25-й, 26-я предназначена для заметок. Две недоступные страницы не восстановлены предположением. Численные баллы и схемы оценивания в доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2006tepr.pdf · официални решения: psol2006tepr.pdf