Съдържание

ВсОА 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-Т-1. · Две кульминации светила

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2007

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры, 9–11 классы · 2 април 2007 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования
Астрономическое общество

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, г.Саранск,2007г.

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Саранск,2–7апреля2007года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.С.Расторгуева,О.С.Угольникова,А.М.Татарникова,Е.Н.Фадеева.2007.28стр.

Оригинал-макет и верстка:О.С.Угольников.

Условие

Теоретический тур. 9 класс. Задача 1.

Некоторое незаходящее светило в своей верхней кульминации в Саранске (широта $+54^\circ$ ) располагается в два раза выше, чем в нижней кульминации. Чему равно склонение звезды? Атмосферной рефракцией пренебречь.

Решение

Две кульминации светила (О.С. Угольников).

Саранск находится в северном полушарии, и незаходящее светило имеет положительное склонение. Его нижняя кульминация происходит на севере, а верхняя может быть как на севере, так и на юге. Высота светила в нижней кульминации равна

h_{\mathrm{Н}}=-90^\circ+\varphi+\delta,

где $\varphi$ — широта места, $\delta$ — склонение звезды. Высота верхней кульминации на юге и на севере составляет

h_{\mathrm{В}1}=90^\circ-\varphi+\delta,\qquad h_{\mathrm{В}2}=90^\circ+\varphi-\delta,

причем первая формула справедлива для светил, у которых $\delta<\varphi$ , вторая — для звезд со склонением $\delta\geq\varphi$ . В справедливости этих формул можно убедиться из рисунка. По условию задачи, высота светила в верхней кульминации вдвое больше, чем в нижней. Составим уравнения для широты места для обоих случаев:

90^\circ-\varphi+\delta=2\cdot(-90^\circ+\varphi+\delta)\quad\text{при условии }\delta<\varphi,

90^\circ+\varphi-\delta=2\cdot(-90^\circ+\varphi+\delta)\quad\text{при условии }\delta\geq\varphi.

Решая эти уравнения, получаем:

Полная исходная небесная сфера двух кульминаций: Зенит/Сев.полюсмира/Экватор/Горизонт/δ/φ/hВ1/hВ2/hН1/hН2/90°−φ, все лучи, дуги/точки и родные концы.

\delta_1=270^\circ-3\varphi,\quad\text{при условии }\delta_1<\varphi,

\delta_2=90^\circ-(\varphi/3),\quad\text{при условии }\delta_2\geq\varphi.

Подставляя значение широты Саранска, в первом случае получаем склонение $+108^\circ$ , что не удовлетворяет соответствующему неравенству и вообще не может быть на небесной сфере. А вот вторая формула дает величину склонения $\delta$ , равную $+72^\circ$ , что удовлетворяет нужному неравенству. Верхняя кульминация звезд с таким склонением в Саранске происходит на севере на высоте $72^\circ$ , нижняя — также на севере, на высоте $36^\circ$ над горизонтом.

Рассмотрим второй вопрос задачи для северного полушария Земли (в южном полушарии ответ будет аналогичным с той разницей, что величины склонения $\delta$ и широты $\varphi$ отрицательны). Для того, чтобы найти все широты, для которых существует значение $\delta_1$ или $\delta_2$ , решим неравенства:

\varphi>270^\circ-3\varphi,\qquad\varphi\leq90^\circ-(\varphi/3).

Решением первого неравенства будет $\varphi>67.5^\circ$ , решением второго неравенства $\varphi\leq67.5^\circ$ . Получается, что для любых широт на Земле существует значение склонения звезды, при котором высота верхней кульминации будет вдвое превышать высоту нижней кульминации. Формальное решение существует и для случая экватора ( $\delta=\pm90^\circ$ ) и полюса ( $\delta=0^\circ$ ). Аналогичные рассуждения для модуля склонения и широты проводятся для южного полушария Земли.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены все 27 отдельно напечатанных заданий 9, 10 и 11 классов: 18 теоретических и 9 практических. Все 20 полных печатных ключей со всеми методами и авторами приложены к соответствующим заданиям. В задаче «Две кульминации» дополнительный вопрос о других широтах напечатан только для 10 класса; общий ключ прямо отмечает этот вопрос как относящийся к 10 классу. В таблице объектов строка M17 буквально содержит «Скорпион, Змея»; пустые поля созвездий движущихся объектов сохранены. В ключе окуляров буквально напечатаны Γ2=130 и затем «в полтора»/«около 300». Ключ затменной системы сохраняет вывод о нулевой регистрируемой амплитуде минимума при напечатанном в условии пороге 0.005m. В ключе радуги сохранено исходное слово «крем». Выходные сведения говорят 28 страниц; полученный PDF ключа имеет 27 страниц и завершается полным решением цефеиды. Неизвестная 28-я страница не восстановлена предположением. Все требуемые фотографии и графики есть в доступных оригиналах. Численные баллы и схемы оценивания в 36 доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2007tepr.pdf · официални решения: psol2007tepr.pdf