Съдържание

ВсОА 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-Т-4. · Взрыв в двойной системе

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2007

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры, 9–11 классы · 2 април 2007 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования
Астрономическое общество

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, г.Саранск,2007г.

XIV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Саранск,2–7апреля2007года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.С.Расторгуева,О.С.Угольникова,А.М.Татарникова,Е.Н.Фадеева.2007.28стр.

Оригинал-макет и верстка:О.С.Угольников.

Условие

Теоретический тур. 10 класс. Задача 4.

В двойной системе с круговыми орбитами и массами компонент $M_1$ и $M_2$ произошла вспышка сверхновой (на звезде 1). Какая доля массы должна быть сброшена при этом взрыве, чтобы система распалась? Считать, что взрыв происходит сферически-симметрично относительно центра взрывающейся звезды, оболочка быстро рассеивается в космическом пространстве.

Решение

Взрыв в двойной системе (М.Е. Прохоров).

Рассмотрим двойную систему до взрыва в системе отсчета, связанной с центром масс этой системы. Обозначим расстояние между звездами через $a$ . Радиусы окружностей, по которым движутся компоненты, равны

r_1=a\cdot\frac{M_2}{M_1+M_2},\qquad r_2=a\cdot\frac{M_1}{M_1+M_2}.

Орбитальный период системы составляет

T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G(M_1+M_2)}}.

Скорости каждой из компонент равны

v_1=\frac{2\pi r_1}T=M_2\sqrt{\frac G{a(M_1+M_2)}},\qquad v_2=\frac{2\pi r_2}T=M_1\sqrt{\frac G{a(M_1+M_2)}}.

Перейдем в систему отсчета, связанную со второй звездой. Хотя эта система и не является инерциальной, в ней остается справедливым III закон Кеплера. Скорость первой звезды в этой системе равна круговой скорости малого тела в поле тяжести большого тела с массой, равной сумме масс звезд:

u_0=v_1+v_2=\sqrt{\frac{G(M_1+M_2)}a}.

После взрыва сверхновой масса первой звезды уменьшается. Чтобы система распалась, скорость первой звезды относительно второй (которая не меняется вследствие быстрого рассеяния оболочки) должна соответствовать параболической скорости:

u_0=\sqrt{\frac{2G(M_1(1-\eta)+M_2)}a}.

В итоге, мы получаем, что для распада система должна сбросить половину своей общей массы. Это возможно, если первая звезда до взрыва была тяжелее второй. Доля массы, сброшенная первой звездой, должна быть не меньше

\eta=\frac{M_1+M_2}{2M_1}.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены все 27 отдельно напечатанных заданий 9, 10 и 11 классов: 18 теоретических и 9 практических. Все 20 полных печатных ключей со всеми методами и авторами приложены к соответствующим заданиям. В задаче «Две кульминации» дополнительный вопрос о других широтах напечатан только для 10 класса; общий ключ прямо отмечает этот вопрос как относящийся к 10 классу. В таблице объектов строка M17 буквально содержит «Скорпион, Змея»; пустые поля созвездий движущихся объектов сохранены. В ключе окуляров буквально напечатаны Γ2=130 и затем «в полтора»/«около 300». Ключ затменной системы сохраняет вывод о нулевой регистрируемой амплитуде минимума при напечатанном в условии пороге 0.005m. В ключе радуги сохранено исходное слово «крем». Выходные сведения говорят 28 страниц; полученный PDF ключа имеет 27 страниц и завершается полным решением цефеиды. Неизвестная 28-я страница не восстановлена предположением. Все требуемые фотографии и графики есть в доступных оригиналах. Численные баллы и схемы оценивания в 36 доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2007tepr.pdf · официални решения: psol2007tepr.pdf