Съдържание

ВсОА 2008, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-Т-2. · Полярный метеорный поток

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2008

XV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии — теоретический и практический туры, 9–11 классы · 7 април 2008 г.

Оригинальные выходные сведения

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

XV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии, г.Новороссийск,2008г.

XV Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Новороссийск,7-13апреля2008года. Условия и решения задач теоретического и практического туров. Сборник под редакцией А.С.Расторгуева,О.С.Угольникова,А.М.Татарникова,Е.Н.Фадеева.2008.32стр.
Оригинал-макет и верстка:О.С.Угольников.

Условие

Теоретический тур. 11 класс. Задача 2.

21 марта в северном полушарии Земли наблюдается метеорный поток, радиант которого совпадает с Северным Полюсом Мира. Наземные измерения скорости метеоров дали результат 15 км/с. Найти эксцентриситет орбиты метеорных тел и ее наклонение к плоскости орбиты Земли.

Решение

Полярный метеорный поток (О.С. Угольников).

21 марта, в день весеннего равноденствия, Земля движется по своей орбите со скоростью $\mathbf{v}_0$ так, как показано на рисунке. Северный полюс нашей планеты оказывается в задней полусфере Земли по отношению к ее орбитальному движению.

Полная исходная геометрия метеоров:v/v0/u/i/γ,северныйполюсМира,Земля,обеорбиты и всестрелки.

Радиант метеорного потока указывает направление, противоположное геоцентрической скорости метеорных тел в момент их сближения с Землей. Это направление образует с орбитой Земли угол $\gamma$ , равный $66.6^\circ$ . Метеороиды влетают в атмосферу Земли на высоте $h$ (около 100 км) со скоростью $u_A$ . До попадания в гравитационное поле нашей планеты направление геоцентрической скорости метеорных тел было таким же, а ее величину можно найти из закона сохранения энергии:

u^2=u_A^2-\frac{2Gm}{r+h},

где $m$ и $r$ — масса и радиус Земли. Скорость $u$ получается равной 10.1 км/с. Орбитальная скорость Земли $v_0$ в день весеннего равноденствия близка к своему среднему значению — 29.8 км/с. Как видно из рисунка, величину гелиоцентрической скорости метеорных тел $v$ можно определить из теоремы косинусов с учетом свойств смежных углов:

v^2=v_0^2+u^2+2v_0u\cos\gamma.

Подставляя численные значения, получаем 35.1 км/с. Для дальнейшего анализа обратим внимание, что склонение Солнца в день весеннего равноденствия равно нулю, а плоскость рисунка содержит вектор орбитальной скорости Земли $\mathbf{v}_0$ и направление на Северный Полюс Мира, оба перпендикулярные направлению от Земли к Солнцу. Тем самым, вся картинная плоскость, в том числе и вектор $\mathbf{v}$ , перпендикулярна направлению на Солнце. Следовательно, метеороиды в момент встречи с Землей находятся в перигелии или афелии своей орбиты. Величина скорости $v$ , превосходящая круговую скорость $v_0$ , указывает, что метеорные тела находятся в перигелии. Скорость $v$ связана с характеристиками орбиты метеорных тел (большой полуосью $a$ и эксцентриситетом $e$ ) следующим соотношением:

v=\sqrt{\frac{GM}{a}\cdot\frac{1+e}{1-e}}=\sqrt{\frac{GM}{R}\cdot(1+e)}=v_0\sqrt{1+e}.

Здесь $M$ — масса Солнца, $R$ — расстояние от Солнца до Земли. В итоге, эксцентриситет орбиты метеорных тел равен

e=\frac{v^2}{v_0^2}-1=\frac{u^2}{v_0^2}+\frac{2u}{v_0}\cos\gamma=0.39.

Наклонение орбиты потока к плоскости орбиты Земли вычисляется из теоремы синусов:

i=\arcsin\frac{u\sin\gamma}{v}=15.3^\circ.

Мы видим, что хотя радиант метеорного потока и совпал с Северным полюсом мира, наклонение орбиты метеорных тел не столь велико.

Примечание к доступному оригиналу

Сохранены все 27 отдельно напечатанных заданий 9, 10 и 11 классов: 18 теоретических и 9 практических; каталог предварительно указывал 23. Все 22 полных печатных ключа со всеми методами и авторами приложены к соответствующим заданиям. Различающиеся условия телескопа и покрытия звезд для 9 и 10 классов сохранены отдельно; общие ключи сохраняют исходные обозначения классов. В задании о космическом мусоре условие требует более 10 фотонов на пиксел, а ключ говорит не меньше 10: обе границы сохранены буквально. В ключе восхода Солнца сохранена исходная фраза об угле к эклиптике. Историческая задача о звезде Барнарда, датированные утверждения и исходные обозначения спектральных функций озона сохранены без научного переосмысления. Ключ Венеры прямо относит карту на странице 18 к заданию практического тура и указывает путь с 6 апреля до 5 мая 2084 года. Все десять лунных фотографий с отметками времени, стрелками и авторством, все карты, графики и таблицы сохранены. Выходные сведения говорят 32 страницы; полученный PDF ключа имеет 31 страницу и завершается полным решением озона и благодарностью за экспериментальные данные. Неизвестная 32-я страница не восстановлена предположением. Численные баллы и схемы оценивания в 40 доступных страницах не напечатаны.

Оригинал в Архива: prob2008tepr.pdf · официални решения: psol2008tepr.pdf