ВсОА 2010, Заключителен етап, 9–11 клас, теория — Задача 11-4. 11 класс — 4. Дорога к башне

Дорога к башне (О.С. Угольников)

Поместим начальное положение путешественника в центр небесной сферы и изобразим ее проекцию на плоскость, содержащую зенит и вершину башни. Очевидно, что в момент начала пути в этой же плоскости окажется Луна, лежащая на линии "путешественник — вершина башни". В плоскости рисунка окажется и Солнце, так как его луч отражается окном, перпендикулярным этой плоскости, и приходит к путешественнику вместе с лучом от Луны.

Обозначим на рисунке положение Луны в момент начала пути цифрой 1. По условию задачи, мы пренебрегаем наклоном орбиты Луны к плоскости эклиптики. Тогда оба светила находятся на эклиптике. В то же время они располагаются в плоскости рисунка и не находятся в совпадающих либо противоположных точках небесной сферы. Следовательно, плоскость рисунка совпадает с плоскостью эклиптики, а большой круг небесной сферы, проходящий через Солнце и Луну и изображенный на рисунке — есть сама линия эклиптики.

Данная линия проходит через зенит наблюдателя. Такое может быть только в тропическом поясе Земли с модулем широты $\varphi$ не более величины наклона экватора к эклиптике $\varepsilon$ $(23.4^\circ)$.

Перейдем в геоцентрическую систему отсчета (или, проще говоря, представим, что радиус Земли несравнимо меньше расстояния до Луны). Это практически не изменит видимого положения далекого Солнца, но скажется на расположении Луны. Вместо положения 1 она будет находиться в положении 2, выше над горизонтом на угол $\pi_L$. Луне остается 1 день до фазы полнолуния (и лунного затмения), поэтому ее высота над горизонтом, очевидно, невелика. Тогда угол $\pi_L$ с хорошей точностью равен горизонтальному параллаксу Луны, составляющему $0.95^\circ$. При этом Луна останется в плоскости эклиптики, так как последняя в данный момент перпендикулярна горизонту.

Для простоты дальнейших рассуждений будем считать, что Солнце не движется по эклиптике, а Луна перемещается по ней равномерно с синодическим периодом $T$ (29.53 суток). Равномерность этого движения связана с пренебрежением эксцентриситетом орбиты Луны по условию задачи. Угловая скорость этого движения равна

Здесь и далее углы в формулах приводятся в радианной мере. За счет суточного вращения небесной сферы Солнце движется под углом $((\pi/2)-|\varphi|)$ к горизонту. Угловая скорость этого движения составит

Здесь $T_0$ — продолжительность солнечных суток, $\delta$ — склонение Солнца. Обозначим высоту Солнца над горизонтом в момент начала пути через $h$, а время перемещения путешественника к башне через $t$. За это время Солнце опустилось к горизонту на высоту $h/2$. Учитывая, что величина $h$ невелика, получаем:

Величины $\delta$ и $\varphi$ нам неизвестны. Однако мы знаем, что их модуль не превосходит $23.4^\circ$, и их косинусы близки к единице (не менее 0.92). На самом деле, это произведение можно оценить еще точнее, если учесть, что $\delta$ — склонение точки эклиптики у горизонта (Солнца), а $\varphi$ — широта места, равная склонению другой точки эклиптики, отстоящей от первой практически на $90^\circ$. С точностью до $\sin^4\varepsilon/8$ (около 0.3%) выполняется соотношение

в чем можно убедиться для элементарных случаев точек равноденствий и солнцестояний. В итоге,

Еще через время $t$ центр Солнца зайдет за горизонт. Далее, через сутки (время $T_0$), к следующему вечеру, Луна перемещается по эклиптике в положение 3. По условию задачи, с ее восходом (и заходом Солнца, совпадающим с восходом Луны с точностью до нескольких минут) начинается теневое лунное затмение. Так как Луна движется по эклиптике, затмение будет полным, более того — центральным. Если считать орбиту Луны круговой, то ее видимый радиус $r_1$ составит $0.26^\circ$, а радиус земной тени $r_2$ будет равен $0.69^\circ$. Эти величины можно легко рассчитать, вследствие их малости высокая точность не требуется. Наибольшая фаза затмения будет отстоять от захода Солнца на время

что составляет 1.9 часа. Эту величину можно также оценить, зная реальную продолжительность лунных затмений.

Как видно из рисунка, за период времени с момента начала пути и до середины лунного затмения Луна переместится вдоль эклиптики на угол

Нам известна угловая скорость этого движения $(\omega)$ и величина времени. Получаем следующее соотношение:

Подставляя выражение для $h$, полученное выше, получаем уравнение для величины $t$:

В результате,

Подставляя численные данные, получаем, что путь до башни занял 13.5 минут. Приведенный расчет является наиболее точным. Однако, выкладки можно существенно упростить. Пренебрежем лунным параллаксом и будем считать, что Луна прошла по эклиптике угол $2h$. Учтем также, что величины $t_L$ и $t$ много меньше солнечных суток $T_0$. Опустим также величины $\cos\varphi$ и $\cos\delta$ (или $\cos\varepsilon$), считая их равными 1. Тогда мы можем получить простое приближенное выражение для времени пути (здесь и далее приближенные величины имеют индекс "А"):

Далее, нам нужно определить величину $h$:

Переводя в градусную меру, получаем $6.2^\circ$ и $6.1^\circ$ соответственно. Наконец, высота башни равна

Здесь $v$ — скорость путешественника. Несмотря на большое количество допущений, приближенный ответ мало отличается от более точного. Указанный пример показывает высокую эффективность приближенного вычисления при условии его обоснованности.