Съдържание

ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10. Теоретический тур, 10 класс. 4. К Сатурну мимо Патрокла

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2011

XVIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Анапа, 2011 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Условие

Межпланетный аппарат отправляется 1 декабря с Земли к Сатурну по энергетически выгодной траектории. Расписание миссии включает в себя близкий пролет мимо астероида Патрокл из группы «Троянцев», движущихся по орбите Юпитера в ту же сторону, что и планета. Изучение астероида началось за несколько месяцев до пролета. В каком созвездии (при наблюдении с аппарата) в это время находился Патрокл? Орбиты Патрокла и всех больших планет считать круговыми, массу Патрокла – малой.

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

Аппарат летит от Земли к Сатурну по энергетически выгодной траектории – половине эллипса, перигелий которого совпадает с точкой старта (Земля), а афелий располагается на орбите Сатурна. Направление движения аппарата совпадает с направлением движения планет (против часовой стрелки, если смотреть с северной стороны). Обозначим радиусы орбит Земли и Сатурна через $r_0$ и $r$ . Большая полуось данного эллипса составит

a = \frac{r + r_0}{2}

или 5.27 а.е. Это очень близко к значению радиуса орбиты Юпитера и Патрокла. Данное совпадение существенно облегчает решение задания. Изобразим траекторию движения аппарата на рисунке. Как известно, для любой точки эллипса сумма расстояний до двух фокусов одинакова и равна $2a$ . Когда аппарат находится на малой оси эллипса (точка O), расстояние до каждого из фокусов равно большой полуоси эллипса $a$ . В одном из фокусов находится Солнце. Следовательно, расстояние от точки O до Солнца равно $a$ , и как раз вблизи этой точки состоится сближение аппарата с астероидом. Из рисунка по теореме Пифагора мы можем определить величину угла $\alpha$ :

\alpha = \arccos\frac{a - r_0}{a} = 36^{\circ}.

Схема: горизонтальная большая ось от «Земля» через «Солнце» до «Сатурн»; малая окружность орбиты Земли радиуса r0 вокруг Солнца; дуга орбиты Сатурна справа; нижняя половина эллипса траектории аппарата от Земли к Сатурну; отрезок a от Солнца к точке O на малой оси эллипса («Патрокл»), угол α у Солнца; вертикальный отрезок от O к оси, подпись r; внизу треугольник из точек S, O, P с углами γ и β и стрелками скоростей.

Как известно, скорость аппарата на произвольном расстоянии $d$ от Солнца можно определить из закона сохранения энергии:

v = \sqrt{GM\left(\frac{2}{d} - \frac{1}{a}\right)}.

Для точки O мы получаем:

v = \sqrt{\frac{GM}{a}}.

Итак, гелиоцентрическая скорость аппарата по модулю совпадет с круговой скоростью на том же расстоянии, то есть, со скоростью Патрокла. Пусть за некоторое небольшое время до сближения аппарат находился в точке S, а Патрокл – в точке P. Из равенства скоростей мы имеем равенство отрезков SO и PO, треугольник SOP является равнобедренным. При этом отрезок SO параллелен большой оси эллипса, а отрезок PO – перпендикулярен направлению от Солнца к точке O. Отсюда мы можем получить значение угла в вершине равнобедренного треугольника

\beta = 90^{\circ} - \alpha = 54^{\circ}.

Углы при основании этого треугольника равны

\gamma = 90^{\circ} - (\beta/2) = 45^{\circ} + (\alpha/2) = 63^{\circ}.

Направление, в котором виден Патрокл с аппарата (точка P из точки S) образует угол γ с направлением, в котором было видно Солнце с Земли в день старта, причем данный угол отсчитывается к западу. Дугу в 63° Земля проходит по своей орбите за 62 дня. Патрокл будет виден с аппарата в созвездии, в котором Солнце было видно с Земли за 62 дня до запуска, то есть 30 сентября. Это созвездие Девы.

Оригинал в Архива: prob2011tepr.pdf · официални решения: psol2011tepr.pdf