ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9. Теоретический тур, 10 класс. 3. Земля издалека

• При наблюдении полного диска Земли падение блеска около 0.08 (невооруженным глазом незаметно); если Земля видна тонким серпом (толщина серпа меньше радиуса Луны), падение блеска достигает примерно 0.5 — это можно заметить невооруженным глазом, если рядом находится источник с постоянным близким блеском, например Венера в соединении с Землей.

(О.С. Угольников)

Во время полного солнечного затмения на Землю падает лунная тень, окруженная лунной полутенью. В область тени солнечные лучи вообще не попадают, но ее размеры очень малы. Основной вклад в ослабление блеска Земли при наблюдении извне будет вносить лунная полутень, внутри которой наблюдается частное солнечное затмение. Освещенность внутри полутени уменьшается не столь сильно, но размеры самой полутени достаточно велики.

Рассмотрим наиболее простой случай – Земля наблюдается со стороны Солнца и видна как полный диск. На него падает лунная тень (в центре) и полутень. Ослабление видимой яркости поверхности Земли внутри полутени неоднородно, оно тем сильнее, чем ближе данная точка поверхности к лунной тени. Расчет величины ослабления в разных областях полутени – достаточно сложная задача. Однако нам нужно лишь оценить максимальную величину общего падения яркости всего диска Земли. Для этого заметим, что количество солнечной энергии, падающей на Землю вне затмения в единицу времени, составляет

где $J$ – поток энергии от Солнца на расстоянии Земли, а $R$ – радиус Земли. Из этой энергии Луна задерживает величину

где $r$ – радиус Луны. В итоге, количество энергии, попадающее на Землю, составляет

В конусе полутени эта энергия перераспределяется между различными областями поверхности Земли, но ее суммарное значение не меняется. Поэтому для оценки падения блеска мы можем заменить реальную картину более простой моделью без полутени, но с большой тенью, имеющей радиус, равный радиусу Луны $r$ (фактически это бесконечно удаленного Солнца или малого расстояния между Луной и Землей).

Если мы наблюдаем Землю со стороны Солнца, а тень Луны попадает на Землю в область центра, то падение блеска Земли в звездных величинах составит

Такое изменение яркости заметить невооруженным глазом не удастся. Однако данная величина не является максимально возможной. Вспомним, что наблюдения проводятся на Марсе, и для прибывших туда астронавтов Земля является внутренней планетой. При определенном положении относительно Солнца и Марса Земля может выглядеть в виде серпа. Обозначим его толщину (в масштабах Земли) через $d$ (правый рисунок).

Терминатор Земли представляет собой половину эллипса, имеющего большую полуось $R$ и малую полуось $(R - d)$. Площадь этого эллипса равна

Если обозначить площадь всего диска через $S$, то площадь освещенного серпа составит

Здесь $F$ – фаза серпа. Попутно мы доказали, что для серпа, освещенного Солнцем под определенным углом, понятия линейной и площадной фазы идентичны (но это не так для понятия фазы затмения).

Пусть серп Земли достаточно тонок, и его толщина $d$ меньше радиуса Луны $r$. Воспользовавшись той же моделью тени Луны радиусом $r$ без полутени (с некоторой точностью ее можно использовать для оценки и в этом случае), мы можем представить тень Луны в виде прямоугольника со сторонами $d$ и $2r$. Его площадь равна

Падение блеска Земли в звездных величинах составит

Это уже достаточно большая величина, и подобное изменение блеска можно заметить невооруженным глазом. При этом нужно принять во внимание, что видимая звездная величина Земли уменьшится не мгновенно, а в течение часа (время вступления полутени на Землю). Чтобы заметить постепенное ослабление Земли при визуальных наблюдениях, рядом с ней должен находиться другой источник с постоянным блеском, близким к блеску Земли. Это может быть искусственный источник, а может быть и небесный объект. Вспомним, что на небе Марса есть еще одна планета, очень близкая по видимой яркости к Земле (около $-3^{\mathrm{m}}$) – Венера. Она будет находиться на небе не очень далеко от Солнца и вполне может вступить в соединение с Землей, когда последняя будет иметь фазу тонкого серпа.