ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 8. Теоретический тур, 10 класс. 2. Небесные явления на борту

• а) 7 полнолуний (за интервал около 4 часов); б) весеннее равноденствие — ровно один раз; в) противостояние Марса — только одно.

(О.С. Угольников)

Чтобы дать ответ на поставленные вопросы, нужно вспомнить определения каждого из трех астрономических явлений. Первое из них – полнолуние – фиксируется в тот момент, когда Луна оказывается в противостоянии с Солнцем, причем (если быть совсем точным) в эклиптической системе координат. Иными словами, видимые эклиптические долготы Солнца и Луны должны отличаться на 180°. Нам необходимо выяснить, может ли подобная картина наблюдаться в день полнолуния на орбитальной станции несколько раз.

Мысленно перенесемся на поверхность Луны в центр ее видимого диска. При наблюдении оттуда Солнце будет двигаться относительно звезд практически точно вдоль эклиптики, а Земля – в ту же сторону под малым углом к эклиптике. Периоды этих движений ($T_{\mathrm{E}}$ и $T_{\mathrm{L}}$ соответственно) составляют 365.25 и 27.32 суток. Угловая скорость движения Земли относительно Солнца будет равна

Переводя во внесистемные единицы, мы получаем значение этой угловой скорости: 0.508° в час. Полный оборот в 360° относительно Солнца Земля завершит за один синодический лунный месяц: 29.53 суток.

В момент полнолуния при наблюдении из данной точки Луны Солнце и наблюдатель (орбитальная станция) должны оказаться в соединении, то есть иметь одинаковую эклиптическую долготу. Нас интересует максимальное число подобных событий в течение дня. Оно может быть достигнуто, если станция будет периодически опережать и отставать от Земли по эклиптике на наибольшую возможную величину – видимый радиус своей орбиты. Это условие выполняется, если, к примеру, плоскость орбиты станции будет перпендикулярна линии Земля-Луна и совпадет с картинной плоскостью при наблюдении с Луны (см. рисунок далее).

Пусть радиус орбиты станции составляет $R$, а период ее обращения – $T$. Тогда угловой диаметр орбиты станции при наблюдении с Луны (в радианах) составит

где $L$ – расстояние от Земли до Луны. Определим интервал времени, в течение которого вся орбита будет пересекать линию соединения с Солнцем (вертикальную линию на рисунке):

Число оборотов, которое станция сможет совершить за это время, составит

Радиус орбиты и период обращения станции связаны III законом Кеплера:

Здесь $M$ – масса Земли. Отсюда:

Здесь $v$ – круговая орбитальная скорость станции. Из получившегося соотношения мы можем сделать вывод, что чем выше круговая скорость станции, тем больше полнолуний удастся зафиксировать космонавтам. Если принять минимальный радиус орбиты равным 6600 км (высота 230 км), то скорость будет равна 7.8 км/с. Число оборотов $N$ оказывается равным около 2.6, т.е. чуть больше двух с половиной. Из этого сразу можно сделать вывод, что полнолуние может наблюдаться несколько раз. Чтобы определить их максимальное количество, обратимся к рисунку.

Пусть в некоторый момент передняя точка орбиты станции при наблюдении с Луны вступила в соединение с Солнцем, а через короткое время после этого в этой точке оказалась сама станция. Тогда, как видно на первом рисунке, на станции будут зарегистрированы сразу два полнолуния, разделенные небольшим интервалом времени. В течение одного оборота станции после этого она вновь пересечет круг эклиптической широты Солнца (полнолуние 3) и окажется левее Солнца на небе Луны. Следующий (второй) оборот будет содержать еще два полнолуния – 4 и 5. Сделав далее половину оборота, станция зафиксирует 6-е полнолуние и окажется справа от Солнца на небе Луны. В этот же момент круг эклиптической широты (вертикальная линия на рисунке) уже близко подойдет к правому краю орбиты. После 7-го пересечения с этой линией станция окажется левее Солнца и больше уже не пересечет линию. Итак, за одни сутки (а точнее, за интервал времени около 4 часов) на орбитальной станции могут быть зафиксированы сразу 7 полнолуний.

Весеннее равноденствие в системе отсчета, связанной со станцией, будет зафиксировано, когда положение центра Солнца окажется в точности на небесном экваторе, причем Солнце должно будет перейти из южного небесного полушария в северное. Другими словами, станция должна находиться в «плоскости равноденствий» – плоскости, параллельной плоскости земного экватора и проходящей через Солнце. Двигаясь по орбите со скоростью $v_0$, равной 29.8 км/с, Земля пересекает эту плоскость в дни равноденствий под углом ε, равным 23.4°. Составляющая скорости Земли, перпендикулярная плоскости равноденствий, будет равна

Эта величина больше первой (и даже второй) космической скорости вблизи поверхности Земли. Следовательно, орбитальное движение станции, вне зависимости от величины и направления скорости, не может компенсировать движение Земли относительно плоскости равноденствий. И на борту станции, как и во всех точках Земли, весеннее равноденствие будет зафиксировано ровно один раз.

Наконец, противостояние Марса фиксируется, когда наблюдатель оказывается на отрезке, соединяющем Солнце и Марс (точнее, проекцию Марса на плоскость эклиптики). Чтобы определить число возможных противостояний, вычислим скорость Земли относительно данной линии в день противостояния.

Линия «Солнце-Марс» вращается вокруг Солнца вместе с самим Марсом с угловой скоростью

Здесь $T_{\mathrm{M}}$ – орбитальный период Марса. Скорость Земли относительно этой линии составит

Здесь $D$ – расстояние от Земли до Солнца, $\omega_{\mathrm{E}}$ – угловая скорость орбитального движения Земли, $S_{\mathrm{M}}$ – синодический период Марса (780 суток). Скорость получается равной около 14 км/с. Как и в случае равноденствия, движение орбитальной станции вокруг Земли не может компенсировать такую скорость. Противостояние Марса на борту станции будет зафиксировано только одно.