Съдържание

ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11. Теоретический тур, 10 класс. 5. Посадка на Венеру и Титан

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2011

XVIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Анапа, 2011 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Условие

Определите, во сколько раз изменится вес космического аппарата на экваторе Венеры и на экваторе Титана по сравнению с его весом на экваторе Земли. Космический аппарат имеет форму шара диаметром 1 метр и массой 100 кг.

Отговори

Решение

(Е.Н. Фадеев)

Вес – это сила, с которой тело давит на горизонтальную опору или растягивает вертикальный подвес. На любое тело, находящееся на поверхности планеты (или спутника планеты), действует сила притяжения, направленная к центру этой планеты. Если планета вращается, то тело будет двигаться вместе с поверхностью планеты с центростремительным ускорением. Эффект будет аналогичен действию центробежной силы, направленной от оси вращения планеты (на экваторе – от центра планеты). Наконец, если у планеты или спутника есть атмосфера (Венера, Земля и Титан ей обладают), на тело будет действовать архимедова сила, также направленная против силы тяжести и стремящаяся поднять его вверх. На экваторе все эти силы будут направлены вдоль линии «центр планеты – тело», но направление их будет различаться: архимедова и центробежная силы будут действовать противоположно силе гравитации.

В соответствии с законом всемирного тяготения величина силы притяжения на поверхности планеты (спутника) выражается формулой:

F_{\mathrm{g}} = \frac{GMm}{r^2} = mg.

Здесь $M$ и $r$ – масса и радиус планеты, $m$ – масса тела, $g$ – ускорение свободного падения. Центробежная сила равна

F_{\mathrm{c}} = m\omega^2 r = \frac{4\pi^2 m r}{T^2},

где ω – угловая скорость вращения планеты вокруг оси, $T$ – ее осевой период. Наконец, для силы Архимеда справедливо соотношение:

F_{\mathrm{a}} = \rho g V.

Здесь ρ – плотность атмосферы планеты, $V$ – объем тела. Плотность атмосферы может быть вычислена из уравнения Менделеева-Клапейрона:

p = \frac{\rho}{\mu}RT,

где μ – молярная масса атмосферного газа, $p$ – давление, $T$ – температура, $R$ – универсальная газовая постоянная. В итоге,

F_{\mathrm{a}} = \frac{p\mu g V}{RT}.

Молярную массу атмосферного газа можно вычислить по его химическому составу. Для Земли она составляет 0.029 кг/моль. Атмосферы Венеры и Титана состоят из одного основного газа с незначительными примесями. В качестве величин молярной массы для атмосферы Венеры мы можем взять молярную массу углекислого газа (0.044 кг/моль), а для атмосферы Титана – молярную массу молекулярного азота (0.028 кг/моль).

Вес тела на поверхности планеты или спутника будет равен

F = F_{\mathrm{g}} - F_{\mathrm{a}} - F_{\mathrm{c}}.

Вычислим все эти силы для трех небесных тел и занесем результаты в таблицу:

	$g$ , м/с $^2$	$F_{\mathrm{g}}$ , Н	$F_{\mathrm{c}}$ , Н	$F_{\mathrm{a}}$ , Н	$F$ , Н
Земля	9.8	980	3.4	6.1	970
Венера	8.8	880	$5.4\cdot10^{-5}$	310	570
Титан	1.3	130	$5.4\cdot10^{-3}$	3.6	130

Мы видим, что на Земле и Титане вес данного космического аппарата определяется гравитационной силой. На Венере с ее плотной атмосферой вес существенно ослаблен архимедовой силой. Центробежная сила на всех трех телах мала и не сказывается на весе. Рассчитаем, во сколько раз вес аппарата на Земле (индекс «E») будет больше, чем на Венере (индекс «V») и Титане (индекс «T»):

P_{\mathrm{V}} = \frac{F_{\mathrm{E}}}{F_{\mathrm{V}}} = 1.7; \quad P_{\mathrm{T}} = \frac{F_{\mathrm{E}}}{F_{\mathrm{T}}} = 7.5.

Оригинал в Архива: prob2011tepr.pdf · официални решения: psol2011tepr.pdf