ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 15. Теоретический тур, 11 класс. 3. Затмение в космосе

• Широта около 33° (северная), долгота 139° з.д. ($-9^{\mathrm{ч}}16^{\mathrm{м}}$) — точка в Тихом океане.

(О.С. Угольников)

Рассмотрим момент наибольшей фазы затмения, видимой на Земле. Изобразим Землю и Луну в плоскости, содержащей также Солнце, расположенное за границей рисунка.

Затмение видно на Земле как частное, и линия, соединяющая центры Солнца и Луны, на Землю не попадает. Наибольшая фаза частного солнечного затмения наблюдается в местную полночь в точке A, ближайшей к этой линии. При наблюдении из этой точки Солнце и Луна имеют одинаковый видимый диаметр β. Продолжим линию OA на рисунке за пределы Земли. Она пересечет линию «Солнце-Луна» в точке C. В этой точке будет наблюдаться центральное солнечное затмение. Отрезок AC перпендикулярен направлению на Солнце и Луну, и в точке C видимые диаметры Солнца и Луны будут также равны β. Фаза затмения, наблюдаемого в точке C, будет в точности равна единице, а сама точка C есть вершина конуса лунной тени.

Солнце значительно дальше от Земли, чем Луна. При наблюдении с Луны видимый диаметр Солнца будет практически таким же. Следовательно, полутень Луны, окружающая ее тень, в проекции на плоскость рисунка будет выглядеть как два конуса с тем же углом раствора β. Радиус полутени $r_{\mathrm{P}}$ вблизи Земли будет равен удвоенному радиусу Луны $r$.

На отрезке CA линейная фаза затмения убывает линейно при удалении от точки C, уменьшаясь до нуля на расстоянии $r_{\mathrm{P}}$. В точке A фаза частного затмения будет равна

где $d$ – длина отрезка CA или расстояние от точки A до вершины конуса тени. Отсюда мы получаем

Так как в точке A в текущий момент полночь, и Солнце проходит точку нижней кульминации, плоскость меридиана в этой точке совпадает с плоскостью рисунка. Следовательно, плоскость рисунка содержит и северный полюс Земли. Обозначим его как P и отметим также проекцию земного экватора. Затмение происходит 1 июня, и северный полюс освещен Солнцем. Склонение Солнца δ в это время близко к величине наклона экватора к эклиптике, 23.4° (в реальности оно составляет около +22°).

Космическая станция находится на круговой геосинхронной орбите. Период ее обращения составляет один звездные сутки ($23^{\mathrm{ч}}56^{\mathrm{м}}04^{\mathrm{с}}$). Радиус орбиты равен

или 42.16 тыс. км. Чтобы космонавты в этот момент наблюдали центральное полное солнечное затмение, они должны находиться на оси тени, причем ближе к Луне, чем точка C (иначе затмение было бы кольцеобразным). Обозначим положение орбитальной станции как S. Угол γ с вершиной в центре Земли, образованный направлениями на станцию и точку A, равен

Отсюда мы получаем значение широты точки поверхности Земли B, над которой находится станция:

Чтобы определить долготу этой точки, обратим внимание, что она располагается с другой стороны от полюса по отношению к точке A. Тогда в указанный момент в точке B должен наступить солнечный полдень. Этот момент соответствует $21^{\mathrm{ч}}16^{\mathrm{м}}$ по Всемирному времени ($UT$). Долгота меридиана, на котором в это время наступает полдень, составляет

или 139° з.д. Данная точка располагается в Тихом океане. Интересно, что в самой этой точке солнечное затмение видно не будет.