Съдържание

ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 17. Теоретический тур, 11 класс. 5. Далекая экспедиция

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2011

XVIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Анапа, 2011 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Условие

Космическая экспедиция прибыла на обитаемую планету в далекой звездной системе. Температурные условия на этой планете были аналогичны земным. При этом вторая космическая скорость для поверхности этой планеты оказалась ровно вдвое меньше третьей космической скорости и в 50 раз меньше второй космической скорости для поверхности звезды, вокруг которой обращается планета. Орбита планеты круговая. Найдите эффективную температуру центральной звезды.

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

Обозначим массу и радиус звезды через $M$ и $R$ , массу и радиус планеты – через $m$ и $r$ , расстояние от звезды до планеты – через $L$ . Получим выражения для всех скоростей, указанных в условии задачи. Вторая космическая скорость для поверхности планеты равна

v_2 = \sqrt{\frac{2Gm}{r}}.

Третья космическая скорость – это минимальная скорость запуска тела с поверхности планеты, при которой оно может в дальнейшем покинуть зону притяжения не только планеты, но и центральной звезды. Для определения этой скорости запишем выражение для орбитальной скорости планеты

v_0 = \sqrt{\frac{GM}{L}}.

Чтобы в дальнейшем покинуть окрестности звезды, физическое тело на расстоянии $L$ от звезды должно иметь скорость, не меньшую

v = \sqrt{\frac{2GM}{L}} = \sqrt{2}v_0.

Минимальная скорость тела относительно планеты в этом случае будет равна

u = v - v_0 = (\sqrt{2} - 1)\sqrt{\frac{GM}{L}}.

Чтобы иметь такую скорость после выхода из сферы притяжения планеты, скорость при запуске должна составлять

v_3 = \sqrt{u^2 + \frac{2Gm}{r}} = \sqrt{(3 - 2\sqrt{2})\frac{GM}{L} + \frac{2Gm}{r}}.

Мы получили выражение для третьей космической скорости на поверхности планеты. Остается записать выражение для второй космической скорости на поверхности звезды:

V_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.

По условию задачи

v_3 = 2v_2,

V_2 = 50v_2.

Подставляя в эти соотношения полученные выше формулы, записываем:

(3 - 2\sqrt{2})\frac{GM}{L} + \frac{2Gm}{r} = 4\cdot\frac{2Gm}{r};

\frac{2GM}{R} = 2500\cdot\frac{2Gm}{r}.

Из первого соотношения следует:

(3 - 2\sqrt{2})\frac{GM}{L} = \frac{6Gm}{r}.

Далее, из второго соотношения:

(3 - 2\sqrt{2})\frac{GM}{L} = \frac{6}{2500}\frac{GM}{R}.

В итоге, мы получаем связь радиуса звезды и расстояния от нее до планеты:

L = \frac{2500\cdot(3 - 2\sqrt{2})}{6}R = K\cdot R,

где число $K$ составляет 71.5. Отсюда следует, что видимый угловой радиус звезды ρ при наблюдении с планеты составляет $(1/K)$ радиан или 48′, что примерно в 3 раза больше углового радиуса Солнца при наблюдении с Земли. Обозначим радиус Солнца через $R_0$ , расстояние от Солнца до Земли – через $L_0$ . Сходство температурных условий на Земле и далекой планете означает, что поток энергии от Солнца на Земле и от звезды на ее планете одинаков. Учитывая закон Стефана-Больцмана для светимостей звезд, получаем

\frac{4\pi\sigma T^4 R^2}{4\pi L^2} = \frac{4\pi\sigma T_0^4 R_0^2}{4\pi L_0^2}.

Здесь σ – постоянная Стефана-Больцмана, $T$ и $T_0$ – эффективные температуры звезды и Солнца. Отсюда мы получаем выражение для эффективной температуры звезды:

T = T_0\sqrt{\frac{R_0}{L_0}\cdot\frac{L}{R}} = T_0\sqrt{\frac{\rho_0}{\rho}} = T_0\sqrt{K\cdot\rho_0}.

Здесь $\rho_0$ – видимый радиус Солнца при наблюдении с Земли. Эффективная температура звезды составляет около 3500 K.

Оригинал в Архива: prob2011tepr.pdf · официални решения: psol2011tepr.pdf