Съдържание

ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 18. Теоретический тур, 11 класс. 6. Множество цивилизаций

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2011

XVIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Анапа, 2011 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Условие

Представьте себе, что около каждой десятой звезды в нашей Галактике существует по одной обитаемой планете. Жители всех этих планет проводят поиски других цивилизаций, пользуясь только данными сверхточной фотометрии звезд. Точность измерений блеска составляет $0.00001^{m}$ для звезд $0^{m}$ и ухудшается в 2 раза для звезд в 4 раза слабее, в 3 раза для звезд в 9 раз слабее и т.д. Сколько цивилизаций в результате смогут в обозримом будущем (за 100 ближайших лет) открыть планету Земля около звезды Солнце? Объемную концентрацию звезд в диске Галактики считать равной 1 пк $^{-3}$ .

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

Так как по условию задачи все цивилизации пользуются только данными звездной фотометрии, не изучая спектры или собственное движение звезд, единственное проявление существования Земли около Солнца, которое они могут зафиксировать – падение блеска Солнца при прохождении Земли по его диску. Расстояния до звезд несравнимо больше расстояния между Солнцем и Землей. В этом случае мы можем вычислить величину максимального падения блеска Солнца:

\Delta m = -2.5\lg\frac{R^2 - r^2}{R^2} = 0.000091^{\mathrm{m}}.

Эта величина в 9.1 раз больше точности фотометрии звезд $0^{\mathrm{m}}$ , доступной далеким цивилизациям. Следовательно, подобное падение блеска они смогут заметить не только у звезд $0^{\mathrm{m}}$ , но и у звезд в $9.1^2$ , то есть в 83 раза слабее. Предельная звездная величина, для которой возможна такая регистрация, составит

m = 0 + 2.5\lg 83 = 0 + 5\lg 9.1 = 4.8.

Полученное значение совпадает с абсолютной звездной величиной Солнца. Такой блеск наша звезда имеет с расстояния $L$ , равного 10 пк. Чтобы открыть планету Земля, зафиксировав ее прохождение по диску Солнца, другая цивилизация должна располагаться не далее 10 пк от Солнечной системы.

Но и среди близких звезд далеко не с каждой можно будет наблюдать прохождение Земли по диску Солнца. Для этого звезда должна находиться достаточно близко к плоскости эклиптики. На рисунке показана соответствующая область пространства. Видно, что угловое расстояние звезды от линии эклиптики при наблюдении с Земли не должно превышать ρ – угловой радиус Солнца. Ограничивая эту область пространства сферой радиусом 10 пк, мы получаем фигуру, показанную на втором рисунке. Планета Земля сможет быть открыта со всех обитаемых планет, попавших внутрь этой фигуры.

Схема: круг «Солнце» слева, от его краев две прямые сходятся в точке «Земля» и расходятся дальше; горизонтальная линия «Плоскость эклиптики»; угол ρ справа от Земли.

Цилиндр (диск) с горизонтальной плоскостью через центр «Солнце»; из него вырезаны два конуса с общей вершиной в Солнце, оставшаяся затененная область; подписи L (радиус) и ρ (угол).

Собственное движение звезд мало влияет на количество этих планет. Характерные собственные движения даже самых близких звезд за редким исключением не превосходят 1-2″ в год. Так как вопрос задачи относится к периоду в 100 ближайших лет, звезды преодолеют в своем движении не более 100-200″, что меньше величины ρ (около 1000″). Число звезд, влетевших в данную область пространства за 100 лет, будет существенно меньше числа звезд, уже находившихся в нем в начале данного периода.

Нам необходимо вычислить объем полученной фигуры. Это можно сделать, представив ее как цилиндр радиусом $L$ и высотой $2L\rho$ , из которого вырезаны два конуса радиусом $L$ и высотой $L\rho$ . Объем получается равным

V = \pi L^2\cdot 2L\rho - 2\cdot\frac{1}{3}\pi L^2\cdot L\rho = \frac{4}{3}\pi\rho L^3.

Взяв радианную меру угла ρ (около 0.0047), получаем величину объема: 20 пк $^3$ . В этот объем попадут около 20 звезд. Если у каждой десятой звезды окажется по одной обитаемой планете, то, скорее всего, две цивилизации смогут узнать о существовании планеты Земля около звезды Солнце.

Оригинал в Архива: prob2011tepr.pdf · официални решения: psol2011tepr.pdf