ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 19. Практический тур, 9 класс. 1. Космический рисунок

• Период обращения спутника — от 2.5 до 7 суток (в зависимости от принимаемого расстояния до Земли, 80 или 150 тысяч км).

(О.С. Угольников)

Если не обращать внимание на неточности в отображении освещенности небесных тел, то рисунок вполне может отображать реальную ситуацию в околоземном космическом пространстве. На этом рисунке Земля имеет достаточно большие угловые размеры, что указывает на ее относительную близость к наблюдателю. Луна располагается на небольшом угловом расстоянии от Солнца и немного уступает ему по угловым размерам. Очевидно, что по отношению к наблюдателю Луна находится позади Земли и ее видимый диаметр меньше, чем при наблюдении с Земли. Искусственный спутник Земли небольшой, но также имеет значительные угловые размеры – он находится в непосредственной близости от точки наблюдения.

Для решения задачи нам необходимо найти расстояние между искусственным спутником (или, что фактически то же самое) точкой наблюдения и Землей. Рисунок дает нам возможность сделать это несколькими способами. Более простой из них состоит в сравнении видимых поперечников Солнца ($d_0$) и Земли ($d_{\mathrm{E}}$). Измерения на рисунке дают результат

Подобное соотношение дает нам значение углового диаметра Земли в 4.5°, а расстояние до центра Земли составляет

или 160 000 километров (здесь $R_{\mathrm{E}}$ – радиус Земли). Другой способ определения расстояния состоит в сравнении видимых поперечников Солнца и Луны. Из рисунка получаем

Видимый диаметр Луны $d_{\mathrm{L}}$ получается равным около 26′, а расстояние до Луны

Угловое расстояние между Землей и Луной невелико. Очевидно, что Луна по отношению к наблюдателю находится позади Земли. Чтобы получить расстояние от наблюдателя до Земли, достаточно вычесть из величины $L$ расстояние от Луны до Земли $a_{\mathrm{L}}$:

Мы видим, что величины $a_{01}$ и $a_{02}$ различаются примерно вдвое, что определяет точность ответа на задачу. Нам остается определить орбитальный период спутника, считая его орбиту круговой. Это проще всего сделать, исходя из «классического» вида III закона Кеплера, сравнивая данный спутник с Луной:

Здесь $T_{\mathrm{L}}$ – период обращения Луны вокруг Земли. В зависимости от принимаемого значения $a_0$ (80 или 150 тысяч км) величина периода обращения искусственного спутника Земли составляет от 2.5 до 7 суток.