Съдържание

ВсОА 2011, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 22. Практический тур, 10 класс. 1. Международная космическая станция

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2011

XVIII Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Анапа, 2011 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Условие

Вам предложена фотография пролета Международной космической станции по диску Луны (автор – Эд Морана, США). Изображения МКС сделаны с интервалом 1/60 секунды друг после друга. Большой кратер, видимый на поверхности Луны – Тихо – имеет диаметр 85 км. Оцените размер Международной космической станции и ее высоту над поверхностью Земли. В момент съемки Луна проходила точку перигея орбиты и располагалась вблизи зенита в точке съемки.

Черно-белая фотография участка лунной поверхности с кратером Тихо и расходящимися от него лучами; поперек снимка слева направо вниз цепочка из одиннадцати силуэтов МКС; внизу метка времени «7 45 31» и подпись «ISS Lunar Transit, Tracy CA, October 6, 2006, Ed Morana».

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

Для начала определим масштаб снимка. На нем присутствует один объект с известным нам размером – лунный кратер Тихо. Как известно, он располагается не в центре лунного диска и наблюдается с Земли под некоторым углом к лучу зрения. Поэтому для определения масштаба нам необходимо взять его видимую большую ось. Ее угловой размер составит

d = \frac{D}{L - R} = 0.00024

или 50″. Здесь $D$ – диаметр кратера Тихо, $L$ – геоцентрическое расстояние до Луны в перигее, $R$ – радиус Земли. Здесь было учтено, что Луна в пункте наблюдения располагается в зените. Обозначим через $b$ угловое расстояние между двумя соседними положениями Международной космической станции на фотографии. Измеряя его, мы получаем

b = (8/7) \cdot d = 0.00027

или 57″. Отсюда мы можем получить видимую угловую скорость Международной космической станции:

\omega = \frac{b}{t} = 0.016\ \mathrm{с}^{-1}.

Здесь $t$ – интервал времени между соседними изображениями МКС. По условию задачи, Луна и МКС в момент съемки находились вблизи зенита, а орбита станции круговая. Осевое вращение Земли и движение Луны мы не принимаем в расчет, так как их скорости (линейные и угловые) много меньше, чем у МКС. Тогда скорость станции $v$ направлена перпендикулярно лучу зрения, и для видимой угловой скорости МКС справедливо соотношение

Схема измерений на снимке: эллипс с диагональной двунаправленной стрелкой, над ним буква d, подпись «Кратер»; ниже силуэты МКС в виде букв Т, у одного – короткая двунаправленная стрелка s, подпись «МКС»; между двумя соседними силуэтами – двунаправленная стрелка b.

\omega = \frac{v}{H} = \frac{1}{H}\sqrt{\frac{GM}{(R+H)}} \approx \sqrt{\frac{GM}{RH^2}} \cdot \left(1 - \frac{H}{2R}\right) = \sqrt{\frac{GM}{RH^2}} - \sqrt{\frac{GM}{4R^3}} = \sqrt{\frac{GM}{RH^2}} - \frac{\omega_0}{2}.

Здесь $M$ – масса Земли, а $H$ – высота станции над поверхностью Земли (т.е. над наблюдателем), при этом учтено, что величина $H$ значительно меньше радиуса Земли $R$ . Величина $\omega_0$ есть геоцентрическая угловая скорость спутника с приземной круговой орбитой. Период для такой орбиты составляет 84 минуты, а величина $\omega_0$ равна $0.0012\ \mathrm{с}^{-1}$ , что существенно меньше величины $\omega$ . Отсюда мы получаем значение высоты:

H = \sqrt{\frac{GM}{R}} \cdot \frac{1}{\omega + (\omega_0/2)} = \frac{v_1}{\omega + (\omega_0/2)}.

Здесь $v_1$ – первая космическая скорость для поверхности Земли. Высота МКС получается равной 470 км. По фотографии можно оценить видимый размер космической станции:

s = 0.6 \cdot d = 0.00014

или 30″. Пространственный размер станции составляет

S = H \cdot s = 65\ \mathrm{м}.

Оригинал в Архива: prob2011tepr.pdf · официални решения: psol2011tepr.pdf