Съдържание

ВсОА 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10. Теоретический тур, 10 класс. X.4. Фара дальнего света

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2012

XIX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Орел, 2012 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Обложка сборника решений

Министерство образования и науки Российской Федерации

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО АСТРОНОМИИ · XIX · 2012

УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

г. Орел, 2012 г.

Выходные данные сборника решений

XIX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Орел, 2012 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 48 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Фара дальнего света представляет собой матовую лампу мощностью 40 Вт и диаметром 2 см, установленную в фокусе отражателя диаметром 20 см. С какого максимального расстояния свет одной фары можно увидеть невооруженным глазом? Аберрации оптики, рассеяние света в воздухе и помехи для распространения света (в том числе горизонт) не учитывать. Считать, что спектральный состав света лампы аналогичен солнечному.

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

Изобразим оптическую схему фары. Обозначим мощность лампы через $J_0$ , радиус ее матовой колбы – через $r$ . Световая энергия, попадающая от лампы на отражатель в единицу времени, с достаточной для оценки точностью составляет

Оптическая схема фары: слева вогнутое зеркало (подпись «Зеркало») радиуса R, справа в фокусе на расстоянии F — лампа радиуса r (подпись «Лампа»); угол ρ; от краев зеркала вправо расходятся лучи со стрелками.

J = J_0\frac{\pi R^2}{4\pi F^2} = J_0\frac{R^2}{4F^2}.

Здесь $F$ – расстояние от лампы до отражателя, оно же – фокусное расстояние отражателя. Лампа располагается в фокусе отражателя, и каждая часть лампы создает на выходе параллельный пучок света. За счет того, что лампа имеет конечные размеры, весь выходящий поток света будет иметь вид расходящегося конуса, стороны которого будут образовывать угол с осью, равный угловому радиусу лампы, видимой от отражателя:

\rho = r/F.

На расстоянии $D$ от фары (существенно большем размеров самой фары) радиус светового пятна составит

L = D\rho = Dr/F.

Поток энергии на единицу площади будет равен

j = \frac{J}{\pi L^2} = J_0\frac{R^2}{4\pi D^2 r^2}.

Обратим внимание, что эта величина не зависит от фокусного расстояния. Для того, чтобы фара была заметна невооруженным глазом, поток энергии $j$ должен соответствовать звезде $6^{\mathrm{m}}$ (или быть большим). Определим это значение, сравнив фару с Солнцем (спектральный состав излучения по условию задачи одинаков). Поток энергии от Солнца на Земле равен

j_{\mathrm{S}} = \frac{J_{\mathrm{S}}}{4\pi L_{\mathrm{E}}^2} = 1.37\cdot 10^{3}\ \text{Вт/м}^2.

Здесь $J_{\mathrm{S}}$ – светимость Солнца, $L_{\mathrm{E}}$ – расстояние от Солнца до Земли. С учетом блеска Солнца ( $-26.8^{\mathrm{m}}$ ) по формуле Погсона получаем значение минимального потока энергии, заметного глазом:

j = j_{\mathrm{S}}\cdot 10^{0.4\cdot(-26.8 - 6)} = 10^{-10}\ \text{Вт/м}^2.

Максимальное расстояние, с которого можно будет увидеть фару, составит

D = \frac{R}{r}\sqrt{\frac{J_0}{4\pi j}} = 1800\ \text{км}.

Столь большое значение не должно вводить в заблуждение – на Земле включенные фары автомобилей легко видны с больших расстояний, ограниченных, прежде всего, потерями света в фаре и условиями видимости (горизонт, земные объекты и т.д.) и поглощением света в атмосферном воздухе.

Содержание сборника решений

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс … 3

10 класс … 10

11 класс … 17

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс … 26

10 класс … 31

11 класс … 38

Оригинал в Архива: prob2012tepr.pdf · официални решения: psol2012tepr.pdf