Съдържание

ВсОА 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11. Теоретический тур, 10 класс. X.5. Прохождение Венеры - XVIII век

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОА 2012

XIX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. г. Орел, 2012 г. Теоретический тур, практический тур (9, 10, 11 класс)

Обложка сборника решений

Министерство образования и науки Российской Федерации

Академия повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО АСТРОНОМИИ · XIX · 2012

УСЛОВИЯ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

г. Орел, 2012 г.

Выходные данные сборника решений

XIX Всероссийская олимпиада школьников по астрономии. Заключительный этап, Орел, 2012 г. Условия и решения задач. Под редакцией А.С. Расторгуева, О.С. Угольникова, А.М. Татарникова, Е.Н. Фадеева. 48 стр.

Оригинал-макет и верстка: О.С. Угольников.

Условие

Шел XVIII век. Две экспедиции направились к противоположным точкам экватора, чтобы зафиксировать момент вступления Венеры на диск Солнца на его восходе и заходе соответственно и определить из этого величину астрономической единицы. Радиус орбиты Венеры в астрономических единицах (0.723 а.е.) был к тому времени хорошо известен. И если хронометр, взятый с собой первой экспедицией, работал точно, то у второй экспедиции (наблюдавшей вход Венеры на заходе Солнца) он спешил на одну минуту. Какое значение астрономической единицы будет получено в результате работы экспедиций? Наклон орбиты Венеры и экватора Земли к эклиптике не учитывать, орбиты обеих планет считать круговыми.

Отговори

Решение

(О.С. Угольников)

При наблюдении из разных точек Земли Венера вступает на диск Солнца в разное время, и этот эффект может служить основой для определения параллакса Солнца или расстояния от Солнца до Земли. Предположим для простоты, что Венера и Земля обращаются вокруг Солнца в одной плоскости, содержащей также экватор Земли. Рассмотрим картину со стороны северного полюса эклиптики.

Вид со стороны северного полюса эклиптики: вверху Солнце (черный кружок, подпись «Солнце»), ниже дуги орбит Венеры (подпись «Венера», скорость v) и Земли (подпись «Земля», скорость v0); два положения Венеры, смещенные на l, и два положения Земли, смещенные на l0; лучи от Солнца, касательные к Земле, отмечены моментами T1 и T2.

Пусть в некоторый момент $T_1$ прохождение Венеры по диску Солнца стало видно из одной точки Земли. Венера движется по орбите быстрее Земли, и прохождение будет в начале видно из восточной точки Земли, задней по отношению к ее орбитальному движению. При наблюдении из этой точки Солнце и Венера будут заходить за горизонт. В эту точку прибыла вторая экспедиция, описанная в условии задачи. Через некоторое время, в момент $T_2$ , прохождение станет видимым со всей дневной части поверхности Земли. Последними вступление Венеры на диск Солнца увидят наблюдатели с передней, западной окраины Земли, где Солнце и Венера будут восходить над горизонтом.

Пусть $a_0$ – искомое расстояние между Солнцем и Землей, а $q$ – радиус орбиты Венеры в астрономических единицах. Расстояние между Солнцем и Венерой составляет $qa_0$ . Из III закона Кеплера можно получить соотношение орбитальных скоростей Венеры ( $v$ ) и Земли ( $v_0$ ):

v^2 q = v_0^2.

Обозначим перемещение Земли за интервал времени ( $T_2 - T_1$ ) как $l_0$ . Как видно из рисунка, Венера за это время переместится на расстояние

l = (l_0 + 2R)\,q.

Здесь $R$ – радиус Земли. Учитывая соотношение скоростей, получаем:

\frac{l_0}{v_0} = \frac{l}{v} = \frac{q^{3/2}(l_0 + 2R)}{v_0}.

Отсюда

l_0 = \frac{2Rq^{3/2}}{(1 - q^{3/2})}.

Зная моменты времени $T_1$ и $T_2$ , можно определить величину орбитальной скорости Земли и далее – радиуса ее орбиты:

v_0 = \frac{l_0}{T_2 - T_1};

a_0 = \frac{v_0 T_{\mathrm{E}}}{2\pi} = \frac{l_0 T_{\mathrm{E}}}{2\pi(T_2 - T_1)} = \frac{Rq^{3/2}T_{\mathrm{E}}}{\pi(1 - q^{3/2})(T_2 - T_1)}.

Здесь $T_{\mathrm{E}}$ – период обращения Земли вокруг Солнца. Из последней формулы можно вычислить, что истинный промежуток времени ( $T_2 - T_1$ ) составляет 11.4 минуты. Однако, из-за ошибки хода часов экспедиции, работавшей на заходе Солнца, вместо момента времени $T_1$ был зафиксирован момент $T_1 + \Delta T_1$ . В результате, ошибочное значение величины астрономической единицы получится равным:

a' = \frac{Rq^{3/2}T_{\mathrm{E}}}{\pi(1 - q^{3/2})(T_2 - T_1 - \Delta T_1)} = a_0\frac{T_2 - T_1}{T_2 - T_1 - \Delta T_1} = 164\ \text{млн км}.

Содержание сборника решений

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс … 3

10 класс … 10

11 класс … 17

ПРАКТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс … 26

10 класс … 31

11 класс … 38

Оригинал в Архива: prob2012tepr.pdf · официални решения: psol2012tepr.pdf