ВсОА 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 24. Практический тур, 10 класс. X.3. Пылевой диск

• $1.5 \times 10^{20}$ кг

  Минимальная масса диска; в решении также: $2.5\cdot10^{-5}$ масс Земли.

(А.М. Татарников, О.С. Угольников)

По интерферометрическим изображениям мы можем определить видимый диаметр оптического компонента системы звезды $\delta$, он составляет $2.2\cdot10^{-3}$″. Умножая его на расстояние до звезды (600 пк), получаем ее диаметр $d$, выраженный в астрономических единицах – 1.3 а.е.

По изображениям 3 ноября и 3 декабря 2009 года мы видим, что диск виден с Земли как эллипс и движется практически вдоль своей большой оси. В реальности диск круглый, и его видимая эллиптическая форма объясняется эффектом проекции на небесную сферу. Сравнивая положения диска на двух фотографиях, получаем величину его перемещения относительно звезды за 1 месяц. Оно составляет примерно 1/3 от видимого диаметра звезды. 3 ноября правый край диска практически совпадает с лимбом звезды. В конце затмения (13 мая 2011 года), эта же точка лимба совпадет с левым краем диска. Следовательно, вся видимая большая ось диска пройдет через данную точку лимба за 18 месяцев, и его длина составляет 6 угловых диаметров звезды. Из этого следует, что пространственный диаметр диска $L$ в 6 раз больше диаметра звезды и составляет около 8 а.е.

Области звезды, закрытые пылевым диском, выглядят существенно потемневшими (или даже совсем черными). Из этого мы можем сделать вывод, что лучи звезды, идущие к нам сквозь пыль, встречаются как минимум с одной пылинкой. Рассмотрим взаимное расположение звезды, пылевого диска и наблюдателя.

Зная, что диск имеет круглую форму и измерив малую ось его изображения на небе $l$ ($0.6d$ или $0.1L$, соответствующая пространственная длина составляет 0.8 а.е.), получаем величину угла наклона плоскости диска к лучу зрения:

Обозначим толщину диска через $h$. Тогда длина пути лучей сквозь диск составит

Если радиус пылинки равен $r$, то число пылинок на луче зрения будет равно их числу в цилиндрической трубке длиной $x$ и радиусом основания $r$. Если концентрация пылинок равна $n$, то данное число составит

Как было сказано выше, число $T$ не меньше единицы. Тогда для концентрации справедливо неравенство:

Диск имеет радиус ($L/2$) и толщину $h$. Общее число пылинок в нем:

Интересно, что число в правой части неравенства не зависит от толщины диска и составляет лишь отношение его видимой площади к видимой площади пылинки. Данное неравенство можно было также получить, считая, что видимых площадей всех пылинок должно быть достаточно, чтобы покрыть весь диск по отношению к лучу зрения. Наконец, масса диска не меньше, чем

Минимальная масса равна всего $1.5\cdot10^{20}$ кг или $2.5\cdot10^{-5}$ масс Земли. Реальная масса диска на несколько порядков больше, так как он еще менее прозрачен, и на луче зрения оказывается большое число пылинок.